Chapitre5•Écriturelocaledeséquationsdeconservation
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Remarque
En utilisant la définition de la dérivée particulaire, on peut exprimer la relation (5.16)
sous la forme équivalente :
d
d
 
t
u
+ ∇ ⋅ =
0
(5.17)
Casparticuliers
Lorsque l’écoulement est permanent alors la dérivée partielle de la masse volumique par rapport au temps est nulle et d’après (5.16) l’ECM se résume à :
∇ ⋅ ( ) = ⋅ ∇ + ∇ ⋅ =

 
u
u
u 0
Si, d’autre part, l’écoulement est incompressible alors la masse volumique est
constante tout le domaine d’écoulement et donc  : ∇ =
 0. Dans ce cas l’ECM
devient :
∇ ⋅ =
u 0
Cette relation correspond bien à un écoulement incompressible et stationnaire.
Le débit masse de fluide au travers d’un tube de courant de section A et de normale n

est défini par :
Q
u n S
m
A
=
⋅
∫ 
  d
(5.18)
S’il y a conservation de la masse dans le tube alors il y a conservation du débit.
5.2.2Conservationdelaquantitédemouvement
Cette loi traduit l’équation fondamentale de la dynamique, à savoir que le taux de
variation de la quantité de mouvement associée au volume matériel W(t) est égal à la
somme des forces extérieures agissant sur W(t) :
d
d
d
t
u V F
t
e

Ω( )
∫
=
(5.19)
Les forces extérieures agissant sur W(t) sont :
• le poids du volume de fluide :
 g V
t
 d
Ω( )
∫
• les forces agissant sur la surface G(t) que l’on écrit sous la forme T n S
t
( )
( )
∫
d
Γ
, où n

est la normale extérieure à G(t).
On décompose classiquement la contrainte T
en une contrainte liée aux forces de
pression et une contrainte liées aux effets visqueux. Soit :
T n S
n S
t
t
( ) =
( )
( )
∫
∫
d
d
Γ
Γ

(5.20)
9782100549337-Livre.indb 120
31/07/11 13:00