5.2•Formelocaledeséquationsdeconservation
119
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
On applique alors la relation (5.8) à chaque composante scalaire de la projection :
d
d
d
d
t
g x t V e
t
g x t V e
g x
t
t
,
,
( ) =
( ) +
( )
( )
Ú
Ú
W
W
1
1
1
1
∂
∂
,
,
       
t u n S e
t
g x t V
t
t
( ) ◊
+
( )
( )
( )
Ú
Ú
d
d
G
W
2
2
∂
∂
                   
,
+
( ) ◊
+
( )
Ú
e
g x t u n S e
t
2
2
3
d
G
∂ ∂
∂t
g x t V e
g x t u n S
t
t
3
3
3
,
,
( ) +
( ) ◊
( )
( )
Ú
Ú
d
d
W
G
Soit :
d
d
d
d
t
g x t V
t
g x t V
g x t u
t
t
 
 
 
,
,
,
( ) =
( ) +
( )
( )
( )
∫
∫
Ω
Ω


  
⋅
( )
( )
∫
n S
t
d
Γ
(5.12)
5.2 forme locale des équaTions de conservaTion
5.2.1Conservationdelamasse
Cette loi traduit le fait que la variation de masse m du volume matériel Ω t
( ) au cours du
temps est nulle s’il n’y a pas de terme source ou puits en son sein. Ainsi :
d
d
d
d
d
m
t
t
V
t
=
=
( )
∫ 
Ω
0
(5.13)
où r est la masse volumique.
En appliquant le théorème de transport à la relation (5.8), on obtient :
d
d
d
d
d
t
V
t
V
u n S
t
t
t
ρ
∂ρ
∂
ρ
Ω
Ω
Γ
( )
( )
( )
∫
∫
∫
=
+
⋅
 
(5.14)
Remarque
En régime permanent, lorsque le volume matériel Ω t
( ) coïncide avec le volume de
contrôle V, on retrouve la relation (4.25) du bilan macroscopique de masse obtenu au
chapitre 4.
En utilisant le théorème de la divergence, l’équation (5.14) s’écrit :
d
d
d
d
d
t
V
t
V
u V
t
t
t
r
r
r
W
W
W
( )
( )
( )
Ú
Ú
Ú
=
∂
∂
+
— ◊ ( )
(5.15)
Étant donné que le volume matériel est choisi arbitrairement, on peut étendre la relation (5.15) à l’ensemble du milieu continu. On aboutit donc à la relation fondamentale :
∂ρ
∂
ρ
t
u
+ ∇ ⋅ ( ) =
0
(5.16)
On retrouve l’équation de conservation de la masse (ECM) ou équation de continuité
démontrée aussi au chapitre 1.
(5.11)
9782100549337-Livre.indb 119
31/07/11 13:00