Chapitre5•Écriturelocaledeséquationsdeconservation
118
Le volume 1 croît de la quantité dV 1 pendant l’intervalle de temps Δt mais dans la
direction opposée à u
 .
Donc :
lim
,
,
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
t
V t
V t
t
f x t
t V
f x t
t V
→
( )
(
+
(
) −
+
(
)
∫
0
1
2
1


d
d
) )
→
(
∫








=
+
(
) ⋅
(
)
lim
,
Δ
Δ
Δ
Δ
t
S t
t
f x t
t u n t S
0
1
2

 
d
) )
( )
→
∫
∫
+
+
(
) ⋅
(
)








=
f x t
t u n t S
S t
t

 
,
lim
Δ
Δ
Δ
d
1
0
f f x t
t u n S
f x t
t u n S
S t
S

 

 
,
,
+
(
) ⋅
(
) +
+
(
) ⋅
(
)
( )
∫
Δ
Δ
d
d
2
1 1 t
t
f x t u n S
( )
( )
∫
∫








=
( ) ⋅
(
)

 
,
d
Γ
(5.7)
Finalement, la relation (5.3) devient :
d
d
d
taux de variation de
l’intégra
t
f x t V
t
,
( )
( )
∫
Ω
l le de sur
d
in
f
t
f x t V
t
Ω
Ω






=
( )
( )
∫


,
t tégrale sur
de la variation de
par rapport a
Ω
f
u u temps
d
fl










+
( ) ⋅
( )
∫
f x t u n S
t
,
Γ
u ux de à travers
la surface
f
Γ






(5.8)
En utilisant le théorème de la divergence pour la deuxième intégrale du second
membre on obtient la relation équivalente suivante :
d
d
d
d
t
f x t V
t
f x t
f x t u
t
,
,
,
( ) =
( ) + ∇ ⋅ ( )
(
)
(
)
( )
∫
Ω


V V
t
Ω( )
∫
(5.9)
Cette relation constitue le théorème de Reynolds.
5.1.3Applicationàunegrandeurvectorielle
Appliquons la méthode précédente à la grandeur vectorielle
g x t V
t
  ,
( )
( )
∫
d
Ω
. Nous projetons g x t
  ,
( ) sur le système d’axes utilisé (cartésien, cylindrique ou sphérique) :
g x t
g x t e
g x t e
g x t e
 
 
 
 
,
,
,
,
( ) = ( ) + ( ) + ( )
1
1
2
2
3
3
(5.10)
9782100549337-Livre.indb 118
31/07/11 13:00