5.1•Loisdetransport
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© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
La difficulté réside ici dans le fait que le domaine W(t) est en mouvement. Nous mettons en évidence les variables essentielles au calcul de la relation (5.2) sur l’illustration
de la Figure 5.2.
(t+ t)
(t)
(t)
n
u
u
n
S 2 (t)
S 1 (t)
V 1 (Dt)
V 2 (Dt)
Figure5.2–Évolutionduvolumedecontrôleentrelesinstantstett+Dt.
V 1 (Dt) et V 2 (Dt) sont les volumes balayés par la surface G(t) et qui se retrouvent à l’instant t + Dt respectivement à l’extérieur et à l’intérieur du volume de contrôle W(t + Dt).
On note que :
W(t + Dt) = W(t) – V 1 (Dt) + V 2 (Dt).
S 1 (t) et S 2 (t) sont les surfaces qui balayent V 1 (Dt) et V 2 (Dt) respectivement. On note
que G(t) = S 1 (t) + S 2 (t). Ces deux surfaces sont séparées par une ligne sur laquelle on a :
 
u n
◊ = 0. D’autre part on a
 
u n
◊ < 0 sur S 1 (t) et on a
 
u n
◊ > 0 sur S 2 (t).
D’après la Figure 5.2, on voit que l’on peut décomposer la relation sous la forme :
d
d
d
d
t
f x t V
t
f x t
t V
t
t
t
,
lim
,
( ) =
+
(
)
(
( )
→
( )
∫
∫
Ω
Δ
Ω
Δ
Δ
0
1
1) )
+
+
(
)
−
( )
( )
∫
f x t
t V
f x
V t
,
Δ
Δ
d
2
2
, ,
,
t
t V
f x t V
V t
t
+
(
) −
( )
( )
( )
( )
( )
∫
∫
Δ
Δ
Ω
d
d
1
3
4


















(5.3)
D’autre part :
lim
,
Δ
Ω
Δ
t
t
t
f x t
t
V
→
( )
( ) − ( )
[
] =
( )
∫
0
1 1
4



d
(5.4)
L’élément de volume dV 2 balayé par l’élément de surface dS 2 pendant l’intervalle de
temps Δt est :
d
d
V
u n t S
2
2
= ⋅
(
)
  Δ
(5.5)
Le volume 2 croît de la valeur dV 2 pendant l’intervalle de temps Δt. u
 est la vitesse du
volume matériel Ω t
( ) à la surface Γ t
( ) de normale n
 u n
 
⋅ >
(
)
0 .
De même pour l’élément de surface dS 1 (avec n u
 
⋅ < 0) :
d
d
V
u n t S
1
1
= − ⋅
(
)
  Δ
(5.6)
9782100549337-Livre.indb 117
31/07/11 13:00