Chapitre5•Écriturelocaledeséquationsdeconservation
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5.1 lois de TransPorT
5.1.1Introduction
Les lois de transport consistent à écrire le taux de variation à l’instant t d’une quantité
scalaire ou vectorielle définie sur un volume matériel quelconque W(t) délimité par sa
surface G(t) d’un milieu fluide en écoulement. On appelle u(t) la vitesse localisée sur
l’interface G(t) du volume matériel W(t). Ces théorèmes permettent d’écrire les équations
de bilan pour la masse (quantité scalaire), la quantité de mouvement (quantité vectorielle)
et l’énergie (quantité scalaire).
m
W(t 2 )
W(t 3 )
W(t 1 )
G(t 2 )
G(t 3 )
G(t 2 )
Figure5.1–Évolutiond’unvolumematérielW(t)entre3instantsdifférents
aucoursdel’écoulementdufluidedansuneconduitedesectionvariable
enfonctiondelalongueur.Levolumematériel«s’adapte»defaçon
àconserverunemasseidentiqueàchaqueinstant.
Signalons que nous adoptons ici le point de vue eulérien pour la description des mouvements des domaines matériels. Cela veut donc dire que nous suivons le volume fluide
au cours du temps par rapport à un référentiel d’espace fixe. Contrairement à l’approche
par volume de contrôle que nous avons étudiée au chapitre précédent, le volume matériel peut se déformer selon la géométrie de l’écoulement de façon à conserver le même
volume à chaque instant (voir une illustration sur la Figure 5.1).
5.1.2Applicationàunegrandeurscalaire
Soit f x t
 ,
( ) une fonction définie sur le volume matériel W(t) de surface Γ t
( ). Le taux de
variation de l’intégrale de f x t
 ,
( ) sur W(t) est :
d
d
d
t
f x t V
t
 ,
( )
( )
Ú W
(5.1)
Par définition de la dérivée cette quantité est équivalente à :
lim
,
,
D
W
D
W
D
D
t
t t
t
t
f x t
t V
f x t V
Æ
+
(
)
( )
+
(
) -
( )
È
Î
Ú
Ú
0
1


d
d
Í Í
Í
˘
˚
˙
˙
(5.2)
9782100549337-Livre.indb 116
31/07/11 13:00