Chapitre4•Dynamiquedesfuidesparfaits
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Dans cette relation P 0 est la pression statique que nous supposons constante sur le
domaine étudié étant donné ses petites dimensions. Comme l’air ambiant à la pression
P 0 est à l’équilibre, on doit avoir :
P S N
P S N
P n S
0 1 1
0 2 2
0
0
−
−
=
∫ d
Σ
Ainsi la relation (4.57) se simplifie sous la forme :
−
+
=
−
−


S U u
S U u
P S N
P S N
R
x
x
1 1 1
2 2 2
1 1 1
2 2 2
(4.58)
En projection sur l’axe x, la relation (4.58) s’écrit :
−
+
=
−
−


S u
S u
P S P S
R
x
x
x
1 1
2
2 2
2
1 1
2 2
(4.59)
En projection sur l’axe y, la relation (4.58) s’écrit :
−
+
= −


S u u
S u u
R
x
y
x
y
y
1 1 1
2 2 2
La conservation de la masse sur V s’écrit (en tenant compte du fait que la normale et le
vecteur vitesse sont perpendiculaires sur A et S) :




u n S
u n S
u n S
u n S
S
S
S
.
.
.
.
d
d
d
d
∫
∫
∫
∫
=
+
+
=
1
2
0
Σ
+
=
=
∫  u n S
A
. d
0
0
Soit :
−
+
=


u S
u S
x
x
1 1
2
2
0
Comme S
S
a
1
2

 (puisque l’écoulement est plan on peut donc raisonner par unité de
largeur perpendiculaire à l’écoulement), on trouve donc :
u
u
x
x
1
2

(4.60)
En remplaçant la relation (4.60) dans la relation (4.59) on trouve :
R
P P a
x =
−
(
)
1
2
Et :
R
a u u
u
y
x
y
y
=
−
(
)
 1 1
2
(4.61)
Nous pouvons exprimer R x à partir des vitesses en utilisant la relation de Bernoulli :
P
U
P
U
1
1
2
2
2
2
2
2
+
=
+


Soit :
P P
U
U
u
u
u
u
x
y
x
y
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
−
=
−
(
) =
+
−
−
(
)


Comme u
u
x
x
1
2

 :
P P
u
u
y
y
1
2
2
2
1
2
2
−
=
−
(
)

et donc :
R
u
u S
x
y
y
=
−
(
)

2
2
2
1
2
(4.62)
9782100549337-Livre.indb 112
31/07/11 13:00