Chapitre4•Dynamiquedesfuidesparfaits
106
(4.2) Considérons la ligne de courant joignant les points M et A et appliquons la relation
de Bernoulli entre ces 2 points :
P
g z
U
P
g z
U
M
M
M
A
A
A
+
+
=
+
+
1
2
1
2
2
2
(4.48)
Le réservoir est de très grandes dimensions devant l’orifice d’évacuation de l’eau et nous
pouvons donc supposer que la vitesse du point M est très petite devant celle de A. D’autre
part, le point M étant sur la surface libre, la pression y est égale à la pression atmosphérique : P
P
M
atm
et au point A l’écoulement dans l’air ambiant étant à droites parallèles
la pression est aussi égale à la pression atmosphérique : P
P
A
atm
.
On en déduit donc que la relation (4.48) conduit à :
U
g z
A
M
2
Cette relation constitue la formule de Toricelli. Notons bien que la hauteur z M dépend
bien du temps puisque le niveau de la surface libre diminue au fur et à mesure que le
liquide s’écoule.
Pour calculer le temps de vidange de la cuve, nous calculons dans un premier temps le
débit volume au niveau de l’orifice de sortie :
Q
U s s g z t
v
A
M
=
=
( )
2
(4.49)
Comme l’écoulement est incompressible, il y a conservation du débit et son calcul à partir de la section de la cuve conduit avec la relation (4.49) à :
Q
s g z t
U S
z
t
S
v
M
M
M
=
( ) =
= −
2
d
d
Nous intégrons la relation précédente depuis l’instant initial jusqu’à l’instant T où la cuve
est complètement vide (z M = 0) :
−
( )
= −
∫
∫
d
S
d
z
z t
s g t
M
M
z
T
M
0
0
2
Ce calcul conduit à :
−
( ) = −
2
2
z t
s g T
M
S
D’où l’expression du temps total de vidange :
T
z t
s g
M
=
( )
2
2
S
Application numérique : T~1h 46 mn 25 s.
(4.3) Considérons la ligne de courant joignant les points A et B. Il n’y a pas conservation
de l’énergie sur cette ligne de courant étant donné que le fluide a communiqué du travail
à la turbine. Ceci implique que la relation de Bernoulli s’écrive :
P
g
z
g
U
P
g
z
g
U
H
A
A
A
B
B
B
T
+ +
−
+ +
=
1
2
1
2
2
2
9782100549337-Livre.indb 106
31/07/11 13:00
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(4.2) Considérons la ligne de courant joignant les points M et A et appliquons la relation
de Bernoulli entre ces 2 points :
P
g z
U
P
g z
U
M
M
M
A
A
A
+
+
=
+
+
1
2
1
2
2
2
(4.48)
Le réservoir est de très grandes dimensions devant l’orifice d’évacuation de l’eau et nous
pouvons donc supposer que la vitesse du point M est très petite devant celle de A. D’autre
part, le point M étant sur la surface libre, la pression y est égale à la pression atmosphérique : P
P
M
atm
et au point A l’écoulement dans l’air ambiant étant à droites parallèles
la pression est aussi égale à la pression atmosphérique : P
P
A
atm
.
On en déduit donc que la relation (4.48) conduit à :
U
g z
A
M
2
Cette relation constitue la formule de Toricelli. Notons bien que la hauteur z M dépend
bien du temps puisque le niveau de la surface libre diminue au fur et à mesure que le
liquide s’écoule.
Pour calculer le temps de vidange de la cuve, nous calculons dans un premier temps le
débit volume au niveau de l’orifice de sortie :
Q
U s s g z t
v
A
M
=
=
( )
2
(4.49)
Comme l’écoulement est incompressible, il y a conservation du débit et son calcul à partir de la section de la cuve conduit avec la relation (4.49) à :
Q
s g z t
U S
z
t
S
v
M
M
M
=
( ) =
= −
2
d
d
Nous intégrons la relation précédente depuis l’instant initial jusqu’à l’instant T où la cuve
est complètement vide (z M = 0) :
−
( )
= −
∫
∫
d
S
d
z
z t
s g t
M
M
z
T
M
0
0
2
Ce calcul conduit à :
−
( ) = −
2
2
z t
s g T
M
S
D’où l’expression du temps total de vidange :
T
z t
s g
M
=
( )
2
2
S
Application numérique : T~1h 46 mn 25 s.
(4.3) Considérons la ligne de courant joignant les points A et B. Il n’y a pas conservation
de l’énergie sur cette ligne de courant étant donné que le fluide a communiqué du travail
à la turbine. Ceci implique que la relation de Bernoulli s’écrive :
P
g
z
g
U
P
g
z
g
U
H
A
A
A
B
B
B
T
+ +
−
+ +
=
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