Chapitre4•Dynamiquedesfuidesparfaits
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On trouve ainsi que :
Ru
i Ru
u u n l i
u u n l
u
x
y
x
C
y
C
x
-
=
◊
( ) -
◊
( ) =
Ú
Ú
r
r
r
y
d
d
d
C C
y
C
i
u
Ú
Ú
- r
y
d (4.41)
En effet :
u n l
u
u
y
x
y
y
x
x
x
y
⋅
( ) =
−
=
∂
∂
+
∂
∂
=
d
d
d
d
d
d
Donc :
Ru
i Ru
u
i u
x
y
x
y
C
C
−
=
−
(
) =
∫
∫
ρ
ψ
ρ ξ ψ
d
d
(4.42)
Comme : ξ
ϕ
ψ
d
d
d
z
i
=
+
et donc que : ξ
ϕ
ψ
d
d
d
z
i
=
−
, on a alors :
d
d
d
ψ
ξ
ξ
=
−
(
)
i
z
z 2. Ceci permet d’écrire la relation (4.42) sous la forme équivalente :
Ru
i Ru
i
z
z
x
y
C
−
=
−
∫
ρ ξξ
ξ
2
2
d
d
(4.43)
De la même façon on a :
R
p n l
p
C
= − ∫ d
Avec :
n l
y
x
d
d
d
=
−
On trouve donc :
Rp
i Rp
P y i P x i P z
x
y
C
C
C
−
= −
+
=
∫
∫
∫
d
d
d
(4.44)
Or, le théorème de Bernoulli écrit en fonction de la vitesse complexe nous donne (en
négligeant les forces de volume) : P
C te
+
=
1
2
ρ ξξ
. Le contour C étant fermé, on a
donc :
Rp
i Rp
y i
x
i
z
x
y
C
C
C
−
=
+
= −
∫
∫
∫
ρ ξξ
ρ ξξ
ρ ξξ
2
2
2
d
d
d
(4.45)
À partir des relations (4.38), (4.43) et (4.45) on trouve finalement :
R R
i R
i
z
x
y
C
=
−
= − ∫
ρ ξ
2
2 d
(4.46)
Dans le cas où le contour fermé C correspond à une ligne de courant alors l’action sur
le contour se résume à l’action seule des forces de pression et la relation (4.46) constitue
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On trouve ainsi que :
Ru
i Ru
u u n l i
u u n l
u
x
y
x
C
y
C
x
-
=
◊
( ) -
◊
( ) =
Ú
Ú
r
r
r
y
d
d
d
C C
y
C
i
u
Ú
Ú
- r
y
d (4.41)
En effet :
u n l
u
u
y
x
y
y
x
x
x
y
⋅
( ) =
−
=
∂
∂
+
∂
∂
=
d
d
d
d
d
d
Donc :
Ru
i Ru
u
i u
x
y
x
y
C
C
−
=
−
(
) =
∫
∫
ρ
ψ
ρ ξ ψ
d
d
(4.42)
Comme : ξ
ϕ
ψ
d
d
d
z
i
=
+
et donc que : ξ
ϕ
ψ
d
d
d
z
i
=
−
, on a alors :
d
d
d
ψ
ξ
ξ
=
−
(
)
i
z
z 2. Ceci permet d’écrire la relation (4.42) sous la forme équivalente :
Ru
i Ru
i
z
z
x
y
C
−
=
−
∫
ρ ξξ
ξ
2
2
d
d
(4.43)
De la même façon on a :
R
p n l
p
C
= − ∫ d
Avec :
n l
y
x
d
d
d
=
−
On trouve donc :
Rp
i Rp
P y i P x i P z
x
y
C
C
C
−
= −
+
=
∫
∫
∫
d
d
d
(4.44)
Or, le théorème de Bernoulli écrit en fonction de la vitesse complexe nous donne (en
négligeant les forces de volume) : P
C te
+
=
1
2
ρ ξξ
. Le contour C étant fermé, on a
donc :
Rp
i Rp
y i
x
i
z
x
y
C
C
C
−
=
+
= −
∫
∫
∫
ρ ξξ
ρ ξξ
ρ ξξ
2
2
2
d
d
d
(4.45)
À partir des relations (4.38), (4.43) et (4.45) on trouve finalement :
R R
i R
i
z
x
y
C
=
−
= − ∫
ρ ξ
2
2 d
(4.46)
Dans le cas où le contour fermé C correspond à une ligne de courant alors l’action sur
le contour se résume à l’action seule des forces de pression et la relation (4.46) constitue
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