4.7•RelationsdeBlasius
99
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
4.6 bilan macroscoPique Pour le momenT
angulaire
Nous avons vu que l’application du bilan de quantité de mouvement renseigne sur l’action
résultante qu’exerce un fluide en écoulement sur une paroi solide. Par contre, ce bilan ne
donne pas (sauf si des symétries d’écoulement sont évidentes) la position du point d’application de cette résultante. Si M est ce point, le moment de la résultante en M doit être
nul. Pour déterminer les coordonnées de M il nous suffit de calculer le moment au point
M des actions exercées sur le volume de contrôle à partir de la relation :
MI
u u n S
MG
g V
MI P n
S
V
∧
⋅
( ) =
∧
−
∧
∫
∫
d
d
dS
S
∫
(4.35)
Dans cette relation I désigne le point courant sur la surface S du volume de contrôle.
On trouve ainsi que pour un écoulement unidirectionnel, en se référant à la figure
Figure 4.6, le point M d’application de la résultante est tel que :
0
1
1 1
2
2 2
=
∧ ℑ
−
∧ ℑ
−
∧
MP
N
MP
N
MG m g g
(4.36)
4.7 relaTions de blasius
Au chapitre 3, nous avons vu l’intérêt de décrire l’écoulement d’un fluide parfait en écoulement permanent incompressible et irrotationnel à partir de la fonction complexe f(z). Le
deuxième intérêt de cette représentation est de pouvoir calculer la résultante des efforts
qu’un fluide en écoulement exerce sur un profil solide de contour C. Pour cela nous exprimons l’effort résultant à partir de la relation (4.28) de la quantité de mouvement établie
précédemment et en négligeant le poids du fluide :
R
u u n l
P n l
C
C
=
⋅
( ) − −
∫
∫
d
d
(4.37)
Nous exprimons le module de la résultante en nous plaçant dans le plan complexe sous
une forme faisant apparaître la contribution de la vitesse et celle de la pression :
R R
i R
Ru
i Ru
Rp
i Rp
x
y
x
y
x
y
=
−
=
−
(
) +
−
(
)
(4.38)
En notant les coordonnées du vecteur vitesse u
u u
x y
= (
)
, , la vitesse complexe est
définie par :
=
( ) = ( ) −
(
)
d
d
f z
z
u x y i u x y
x
y
,
,
(4.39)
où f z
x y i x y
( ) = ( ) + ( )
ϕ
ψ
,
, est la fonction potentiel complexe, et x y
,
(
) et x y
,
(
) sont
respectivement la fonction potentiel et la fonction courant définies telles que (en coordonnées cartésiennes) :
u x y
x
y
u x y
y
x
x
y
,
,
(
) =
∂
∂
=
∂
∂
(
) =
∂
∂
= −
∂
∂
ϕ
ψ
ϕ
ψ
(4.40)
9782100549337-Livre.indb 99
31/07/11 12:59
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4.6 bilan macroscoPique Pour le momenT
angulaire
Nous avons vu que l’application du bilan de quantité de mouvement renseigne sur l’action
résultante qu’exerce un fluide en écoulement sur une paroi solide. Par contre, ce bilan ne
donne pas (sauf si des symétries d’écoulement sont évidentes) la position du point d’application de cette résultante. Si M est ce point, le moment de la résultante en M doit être
nul. Pour déterminer les coordonnées de M il nous suffit de calculer le moment au point
M des actions exercées sur le volume de contrôle à partir de la relation :
MI
u u n S
MG
g V
MI P n
S
V
∧
⋅
( ) =
∧
−
∧
∫
∫
d
d
dS
S
∫
(4.35)
Dans cette relation I désigne le point courant sur la surface S du volume de contrôle.
On trouve ainsi que pour un écoulement unidirectionnel, en se référant à la figure
Figure 4.6, le point M d’application de la résultante est tel que :
0
1
1 1
2
2 2
=
∧ ℑ
−
∧ ℑ
−
∧
MP
N
MP
N
MG m g g
(4.36)
4.7 relaTions de blasius
Au chapitre 3, nous avons vu l’intérêt de décrire l’écoulement d’un fluide parfait en écoulement permanent incompressible et irrotationnel à partir de la fonction complexe f(z). Le
deuxième intérêt de cette représentation est de pouvoir calculer la résultante des efforts
qu’un fluide en écoulement exerce sur un profil solide de contour C. Pour cela nous exprimons l’effort résultant à partir de la relation (4.28) de la quantité de mouvement établie
précédemment et en négligeant le poids du fluide :
R
u u n l
P n l
C
C
=
⋅
( ) − −
∫
∫
d
d
(4.37)
Nous exprimons le module de la résultante en nous plaçant dans le plan complexe sous
une forme faisant apparaître la contribution de la vitesse et celle de la pression :
R R
i R
Ru
i Ru
Rp
i Rp
x
y
x
y
x
y
=
−
=
−
(
) +
−
(
)
(4.38)
En notant les coordonnées du vecteur vitesse u
u u
x y
= (
)
, , la vitesse complexe est
définie par :
=
( ) = ( ) −
(
)
d
d
f z
z
u x y i u x y
x
y
,
,
(4.39)
où f z
x y i x y
( ) = ( ) + ( )
ϕ
ψ
,
, est la fonction potentiel complexe, et x y
,
(
) et x y
,
(
) sont
respectivement la fonction potentiel et la fonction courant définies telles que (en coordonnées cartésiennes) :
u x y
x
y
u x y
y
x
x
y
,
,
(
) =
∂
∂
=
∂
∂
(
) =
∂
∂
= −
∂
∂
ϕ
ψ
ϕ
ψ
(4.40)
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