Chapitre4•Dynamiquedesfuidesparfaits
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Ceci conduit alors à écrire la relation (4.27) sous la forme :


u u n S
g V
P n S F
S
V
S
s
⋅
( ) =
+ −
+
∫
∫
∫
d
d
d
(4.28)
Ce résultat constitue le théorème de quantité de mouvement que l’on peut donc énoncer sous la forme :
Théorèmedequantitédemouvements
Le flux de quantité de mouvement à travers de la surface fermée d’un volume de
contrôle est égal à la somme des efforts extérieurs appliqués sur le volume de contrôle.
4.5.2Applicationàunécoulementunidirectionnel
Reprenons l’écoulement unidirectionnel représenté sur la Figure 4.6. Avec les notations
utilisées nous pouvons calculer chaque intégrale intervenant dans la relation (4.28), soit :
P n S
P A N
P A N
P n S
S
d
d
∫
∫
= −
+
+
1 1 1
2 2 2
Σ
(4.29)
D’autre part :



u u n S
u u n S
u u n S
S
A
A
  
  
  
⋅
( ) =
⋅
( ) +
⋅
( ) +
∫
∫
∫
d
d
d
1
2
  u u n S
  
⋅
( )
∫
d
Σ
(4.30)
Comme le vecteur vitesse est perpendiculaire à la normale sortante sur la surface S,
la dernière intégrale du second membre de l’égalité précédente est nulle. En projetant sur
les normales N 1
et N 2
nous obtenons :



u u n S
U A N
U A N
S
⋅
( ) = −
+
∫
d
1
2 1 1
2
2 2 2
(4.31)
Et donc d’après la relation de conservation du débit masse :
 u u n S
Q U N Q U N
S
m
m
⋅
( ) = −
+
∫
d
1 1
2 2
(4.32)
La relation (4.28) s’écrit maintenant à partir des relations (4.29) et (4.32) et conduit à
l’expression de la force de pression exercée sur la surface S du volume de contrôle :
F
P n S P A N
P A N
Q U N Q
m
Σ
Σ
= −
=
−
+
−
∫ d
1 1 1
2 2 2
1 1
m m U N
m g
2 2
−
(4.33)
Cette relation constitue le théorème d’Euler et s’écrit aussi :
F
N
N
m g
Σ
= ℑ
− ℑ
−
1 1
2 2
(4.34)
La quantité ℑ =
+
Q U P A
m
a la dimension d’une force et est appelée impulsion.
9782100549337-Livre.indb 98
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