4.5•Bilanmacroscopiquedequantitédemouvement
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© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Les vitesses U 1 et U 2 étant uniformes sur les sections A 1 et A 2 respectivement, on
obtient finalement :
−
+
=
U A U A
1 1
2 2
0
(4.23)
On retrouve la relation de conservation du débit volume :
U A U A
Q v
1 1
2 2
(4.24)
4.5 bilan macroscoPique de quanTiTé
de mouvemenT
4.5.1Formulationgénérale
Le bilan de quantité de mouvement appliqué sur un volume de contrôle exprime que la
variation de quantité de mouvement du fluide, présent dans le volume de contrôle à l’instant t, par rapport au temps est égale à la somme F e
des efforts extérieurs exercés sur V.
Ceci se traduit mathématiquement sous la forme :
d
d
d
t
u V F
V
e
∫
=
(4.25)
En régime permanent (∂ ∂ =
t 0), la variation de quantité de mouvement du fluide
contenu dans V est égale à la somme des débits de quantité de mouvement entrants (Q u
)
dans V et de la somme des débits de quantité de mouvements sortants (Q u
) de V. Le débit
de quantité de mouvement à travers une section d’aire A est par définition :
Q
u u n S
u
A
=
⋅
( )
∫
d
(4.26)
En régime permanent, la relation (4.25) consiste donc à dire que la variation de quantité de mouvement au travers de la surface de contrôle S est égale à la somme des efforts
exercés sur le volume de contrôle V :
u u n S F
S
e
⋅
( ) =
∫
d
(4.27)
Les forces extérieures agissant sur le volume de contrôle sont :
1. Le poids du fluide.
2. Les efforts de pression du fluide qui environne V. Nous écrirons cette contribution
sous la forme :
−
∫ P n S
S
d
Le signe négatif traduit le fait que les efforts de pression du fluide environnant sur le
volume de contrôle sont dans le sens opposé à la normale sortante
n à V.
3. Dans le cas où la surface du volume de contrôle passe par l’interface entre le fluide
et une paroi solide (c’est le cas du jet sur une plaque que nous avons examiné comme
exemple d’illustration plus haut), on notera F s
l’effort résultant de la paroi solide sur le
fluide (c'est-à-dire l’opposé de l’action F e
du fluide sur la paroi solide).
9782100549337-Livre.indb 97
31/07/11 12:59
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© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Les vitesses U 1 et U 2 étant uniformes sur les sections A 1 et A 2 respectivement, on
obtient finalement :
−
+
=
U A U A
1 1
2 2
0
(4.23)
On retrouve la relation de conservation du débit volume :
U A U A
Q v
1 1
2 2
(4.24)
4.5 bilan macroscoPique de quanTiTé
de mouvemenT
4.5.1Formulationgénérale
Le bilan de quantité de mouvement appliqué sur un volume de contrôle exprime que la
variation de quantité de mouvement du fluide, présent dans le volume de contrôle à l’instant t, par rapport au temps est égale à la somme F e
des efforts extérieurs exercés sur V.
Ceci se traduit mathématiquement sous la forme :
d
d
d
t
u V F
V
e
∫
=
(4.25)
En régime permanent (∂ ∂ =
t 0), la variation de quantité de mouvement du fluide
contenu dans V est égale à la somme des débits de quantité de mouvement entrants (Q u
)
dans V et de la somme des débits de quantité de mouvements sortants (Q u
) de V. Le débit
de quantité de mouvement à travers une section d’aire A est par définition :
Q
u u n S
u
A
=
⋅
( )
∫
d
(4.26)
En régime permanent, la relation (4.25) consiste donc à dire que la variation de quantité de mouvement au travers de la surface de contrôle S est égale à la somme des efforts
exercés sur le volume de contrôle V :
u u n S F
S
e
⋅
( ) =
∫
d
(4.27)
Les forces extérieures agissant sur le volume de contrôle sont :
1. Le poids du fluide.
2. Les efforts de pression du fluide qui environne V. Nous écrirons cette contribution
sous la forme :
−
∫ P n S
S
d
Le signe négatif traduit le fait que les efforts de pression du fluide environnant sur le
volume de contrôle sont dans le sens opposé à la normale sortante
n à V.
3. Dans le cas où la surface du volume de contrôle passe par l’interface entre le fluide
et une paroi solide (c’est le cas du jet sur une plaque que nous avons examiné comme
exemple d’illustration plus haut), on notera F s
l’effort résultant de la paroi solide sur le
fluide (c'est-à-dire l’opposé de l’action F e
du fluide sur la paroi solide).
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