Chapitre4•Dynamiquedesfuidesparfaits
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En régime permanent (∂ ∂ =
t 0) la somme des débits masse entrant (Q m
 ) dans V doit
égaler la somme des débits masse sortants (Q m
 ) de V, soit :
Q
Q
m
m
+
−
−
= 0
(4.16)
Le débit masse à travers une section d’aire A est par définition :
Q
u n A
m
A
=
⋅
∫ 
  d
(4.17)
Il en résulte donc que le débit masse au travers de la surface S entourant le volume de
contrôle V doit être nulle, soit :
 u n S
S
 
⋅
=
∫
d
0
(4.18)
4.4.2Applicationàunécoulementunidirectionnel
u 2
N 2
u 1
N 1
n
n
A 1
A
S
2
V
n
P 1
P 2
G
Figure4.6–Écoulementunidirectionneldansunvolumedecontrôle.
Supposons que l’écoulement soit dirigé dans une seule direction comme cela est représenté sur la Figure 4.6. Le volume de contrôle fixe V est limité par la surface latérale S
et par les sections d’entrée et de sortie A 1 et A 2 respectivement ( S A
A
=
+
+
1
2
Σ). Nous
appelons N 1
et N 2
les normales aux sections A 1 et A 2 orientées dans le sens de l’écoulement, soit donc :
N
n N
n
1
2
= −
=
,
(4.19)
Le bilan macroscopique de masse sur le volume de contrôle s’écrit d’après la relation (4.18) :
 u n S
A A
 
⋅
=
+ +
∫
d
Σ 1 2
0
(4.20)
La vitesse étant perpendiculaire à la normale sortante en tout point de S, la relation (4.20) se simplifie sous la forme :
−
⋅
+
⋅
=
∫
∫


U N A
U N A
A
A
1
1
2
2
1
2
0
d
d
(4.21)
D’autre part, l’écoulement est unidirectionnel :
U N
U U N
U
1
1
1
2
2
2
⋅
=
⋅
=
,
(4.22)
9782100549337-Livre.indb 96
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