4.2•ThéorèmedeBernoulli
93
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
δ
δ
π α
δ
α
z
s
s
=
+
( ) =
sin
cos
2
(4.6)
Ce qui conduit à :
cos =
∂
∂
z
s
(4.7)
De plus p s
s
p s
p s s
+
(
) = ( ) + ∂ ∂
(
)

 au premier ordre. En divisant la relation (4.4)
par 
 
V
s A

et en utilisant les relations (4.5) et (4.7), nous obtenons :
−
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
(
)
p
s
g
z
s
u
u
s
u
t
s
s
s


(4.8)
Or :


u
u
s
u
s
s
s
s
∂
∂
=
∂ (
)
∂
2 2
(4.9)
La relation (4.8) s’écrit donc sous la forme :
∂
∂
+
+





 = −
∂
∂
s
p
g
u
g
z
g
u
t
s
s

2
2
1
(4.10)
En régime permanent, le terme transitoire s’annule et on retrouve l’équation de Bernoulli sur une ligne de courant :
p
g
u
g
z
s

+
+ =
2
2
Constante
(4.11)
4.2.3Casdel’écoulementirrotationnelenrégime
transitoire
Lorsque l’écoulement est irrotationnel (∇ ∧
=
u s 0), nous avons vu dans le chapitre 3
que le champ de vitesse dérive d’un potentiel f tel que u s
= ∇. En remplaçant la valeur
de la vitesse par son expression précédente, la relation (4.10) s’écrit alors :
∂
∂
+
+





 = −
∂
∂
∂
∂
( ) = −
∂
∂
∂
∂
( )
s
p
g
u
g
z
g t s
g s t
s
ρ
ϕ
ϕ
2
2
1
1
(4.12)
Soit l’expression équivalente :
∂
∂
∂
∂
+
+
+





 =
s g t
p
g
u
g
z
s
1
2
0
2
ϕ
ρ
(4.13)
ou encore :
1
2
2
g t
p
g
u
g
z K t
s
∂
∂
+
+
+ = ( )
ϕ
ρ
(4.14)
9782100549337-Livre.indb 93
31/07/11 12:59