Chapitre4•Dynamiquedesfuidesparfaits
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La ligne de charge est une représentation graphique de l’énergie totale de la particule
fluide en chaque point de l’écoulement. Elle est horizontale pour un fluide parfait sauf
lorsque l’on rajoute ou prélève de l’énergie à l’aide d’un dispositif mécanique (comme
une pompe ou une turbine par exemple). La ligne piézométrique est parallèle à la ligne
de charge mais toujours inférieure. Elle ne prend en compte que l’énergie relative aux
efforts de pression (terme p/r g dans la relation de Bernoulli) et aux efforts correspondant
à l’énergie potentielle (altitude z). Un exemple d’illustration est donné sur la Figure 4.2.
4.2.2DémonstrationduthéorèmedeBernoulliàpartir
duPrincipeFondamentaldelaDynamique(PFD)
p s dA
dA
r g dV
ds
dz a
( )
p s+ s
(
)dA
s
n
z
x
ligne de courant
u s
Figure4.3–DémonstrationduthéorèmedeBernoulliparapplicationdu
PFDsuruneparticuledansunécoulementdefluideparfait.
Considérons une particule fluide sous la forme d’un cylindre infiniment petit de longueur ds et de section dA et qui est mobile sur une ligne de courant tel que cela est
représenté sur la Figure 4.3. L’application du principe fondamental de la dynamique
(PFD) exprime que les forces agissant sur la particule équilibrent son accélération a s
multipliée par sa masse m =r dV (soit la relation classique de Newton
F m a s
∑ = ). Les
efforts agissant sur la particule fluide sont les efforts de pression et le poids. En projection sur la ligne de courant, ceci revient à écrire :
p s A p s
s A
g V
V a s
( )
−
+
(
)
−
=
δ
δ δ
ρ δ
α ρ δ
cos
(4.4)
Nous avons vu dans le Chapitre 3 que la dérivée particulaire permet d’exprimer l’accélération à partir de la vitesse u s de la particule sous la forme :
a
u
u
s
u
t
s
s
s
s
=
∂
∂
+
∂
∂
(4.5)
Si nous notons z la différence de hauteur entre l’entrée et la sortie du domaine, nous
voyons que :
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La ligne de charge est une représentation graphique de l’énergie totale de la particule
fluide en chaque point de l’écoulement. Elle est horizontale pour un fluide parfait sauf
lorsque l’on rajoute ou prélève de l’énergie à l’aide d’un dispositif mécanique (comme
une pompe ou une turbine par exemple). La ligne piézométrique est parallèle à la ligne
de charge mais toujours inférieure. Elle ne prend en compte que l’énergie relative aux
efforts de pression (terme p/r g dans la relation de Bernoulli) et aux efforts correspondant
à l’énergie potentielle (altitude z). Un exemple d’illustration est donné sur la Figure 4.2.
4.2.2DémonstrationduthéorèmedeBernoulliàpartir
duPrincipeFondamentaldelaDynamique(PFD)
p s dA
dA
r g dV
ds
dz a
( )
p s+ s
(
)dA
s
n
z
x
ligne de courant
u s
Figure4.3–DémonstrationduthéorèmedeBernoulliparapplicationdu
PFDsuruneparticuledansunécoulementdefluideparfait.
Considérons une particule fluide sous la forme d’un cylindre infiniment petit de longueur ds et de section dA et qui est mobile sur une ligne de courant tel que cela est
représenté sur la Figure 4.3. L’application du principe fondamental de la dynamique
(PFD) exprime que les forces agissant sur la particule équilibrent son accélération a s
multipliée par sa masse m =r dV (soit la relation classique de Newton
F m a s
∑ = ). Les
efforts agissant sur la particule fluide sont les efforts de pression et le poids. En projection sur la ligne de courant, ceci revient à écrire :
p s A p s
s A
g V
V a s
( )
−
+
(
)
−
=
δ
δ δ
ρ δ
α ρ δ
cos
(4.4)
Nous avons vu dans le Chapitre 3 que la dérivée particulaire permet d’exprimer l’accélération à partir de la vitesse u s de la particule sous la forme :
a
u
u
s
u
t
s
s
s
s
=
∂
∂
+
∂
∂
(4.5)
Si nous notons z la différence de hauteur entre l’entrée et la sortie du domaine, nous
voyons que :
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