Chapitre4•Dynamiquedesfuidesparfaits
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La relation de Bernoulli permet de calculer la pression et la vitesse sur une ligne
de courant dans la configuration d’un fluide parfait (nous aborderons l’application de
cette relation pour les fluides visqueux au chapitre 7).
Afin de calculer les efforts exercés par le fluide en mouvement sur les objets solides
avec lesquels il est en contact, nous allons utiliser les bilans de masse et de quantité de
mouvement sur des volumes de contrôle englobant l’écoulement dans sa globalité ou
en partie. Ceci fait l’objet de la deuxième partie de ce chapitre. Nous verrons que cette
approche conduit à un outil de calcul simple et performant dans la configuration de
l’écoulement globalement unidimensionnel en régime permanent. Une démonstration
très complète de ces bilans en régime transitoire sera présentée au chapitre 5.
Dans ce chapitre nous supposons un écoulement incompressible et permanent de
fluides parfaits. Nous verrons au chapitre 7 une généralisation de ces outils au cas des
fluides visqueux.
4.2 Théorème de bernoulli
4.2.1Démonstrationparlaconservationdel’énergie
Considérons l’écoulement permanent et incompressible d’un fluide dont la température est uniforme. Nous avons défini la ligne de courant comme le lieu des points où la
vitesse d’une particule fluide est tangente à cette ligne (voir Figure 4.1). Étant donné les
hypothèses, la particule fluide sur cette ligne de courant conserve son énergie. Ainsi, la
somme des variations d’énergie interne, potentielle et cinétique est égale à la quantité de
chaleur et de travail reçue ou cédée par la particule fluide lors de son trajet sur la ligne de
courant. Nous avons vu que cette conservation de l’énergie se traduit mathématiquement
sous la forme du premier principe pour un système ouvert (voir chapitre 1 dans le cas
d’un système fermé où il n’y a pas de variation d’énergie cinétique et potentielle) :
d
d
d
e
p
u
g z
w
q
+
+
+
=
′ +
ρ
δ
δ
2
2
(4.1)
Dans cette relation e désigne l’énergie interne massique, u la vitesse, p la pression, r
la masse volumique, g l’accélération de la pesanteur, dw’ l’accroissement du travail des
forces autres que celles de pression et dq l’accroissement de chaleur. La variation d’énergie interne e est nulle puisque la température du fluide est uniforme (on se rappelle en
effet que dans le cas d’un gaz parfait d
d
e
C T
v
), donc la relation précédente devient :
d
p
g
u
g
z
w
g
q
g
ρ
δ
δ
+
+
=
′ +
2
2
(4.2)
Ainsi entre deux points A et B d’une même ligne de courant, on a donc :
p
g
u
g
z
p
g
u
g
z
H
A
B
+
+
−
+
+
=
2
2
2
2
(4.3)
9782100549337-Livre.indb 90
31/07/11 12:59
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La relation de Bernoulli permet de calculer la pression et la vitesse sur une ligne
de courant dans la configuration d’un fluide parfait (nous aborderons l’application de
cette relation pour les fluides visqueux au chapitre 7).
Afin de calculer les efforts exercés par le fluide en mouvement sur les objets solides
avec lesquels il est en contact, nous allons utiliser les bilans de masse et de quantité de
mouvement sur des volumes de contrôle englobant l’écoulement dans sa globalité ou
en partie. Ceci fait l’objet de la deuxième partie de ce chapitre. Nous verrons que cette
approche conduit à un outil de calcul simple et performant dans la configuration de
l’écoulement globalement unidimensionnel en régime permanent. Une démonstration
très complète de ces bilans en régime transitoire sera présentée au chapitre 5.
Dans ce chapitre nous supposons un écoulement incompressible et permanent de
fluides parfaits. Nous verrons au chapitre 7 une généralisation de ces outils au cas des
fluides visqueux.
4.2 Théorème de bernoulli
4.2.1Démonstrationparlaconservationdel’énergie
Considérons l’écoulement permanent et incompressible d’un fluide dont la température est uniforme. Nous avons défini la ligne de courant comme le lieu des points où la
vitesse d’une particule fluide est tangente à cette ligne (voir Figure 4.1). Étant donné les
hypothèses, la particule fluide sur cette ligne de courant conserve son énergie. Ainsi, la
somme des variations d’énergie interne, potentielle et cinétique est égale à la quantité de
chaleur et de travail reçue ou cédée par la particule fluide lors de son trajet sur la ligne de
courant. Nous avons vu que cette conservation de l’énergie se traduit mathématiquement
sous la forme du premier principe pour un système ouvert (voir chapitre 1 dans le cas
d’un système fermé où il n’y a pas de variation d’énergie cinétique et potentielle) :
d
d
d
e
p
u
g z
w
q
+
+
+
=
′ +
ρ
δ
δ
2
2
(4.1)
Dans cette relation e désigne l’énergie interne massique, u la vitesse, p la pression, r
la masse volumique, g l’accélération de la pesanteur, dw’ l’accroissement du travail des
forces autres que celles de pression et dq l’accroissement de chaleur. La variation d’énergie interne e est nulle puisque la température du fluide est uniforme (on se rappelle en
effet que dans le cas d’un gaz parfait d
d
e
C T
v
), donc la relation précédente devient :
d
p
g
u
g
z
w
g
q
g
ρ
δ
δ
+
+
=
′ +
2
2
(4.2)
Ainsi entre deux points A et B d’une même ligne de courant, on a donc :
p
g
u
g
z
p
g
u
g
z
H
A
B
+
+
−
+
+
=
2
2
2
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