Chapitre3•Cinématiquedesfluides
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Où C 2 est une constante. D’où finalement :  =
−
+
k r
kz
C
  2
2
2
2
5.Équation des lignes de courant :
d
d
r
U
z
U
r
z


d
d
r
kr
z
kz
2
4
= −
Soit en intégrant, on obtient l’équation des lignes de courant suivante : r z cste
2 
. On
trace alors ces lignes de courant :
r
z
U
O
Figure3.22
Cet écoulement correspond à l’écoulement d’un jet sur une plaque. L’axe (Oz) est une
ligne de courant.
6.Comme l’écoulement est incompressible alors on peut écrire que :
1
r
rU
r
U
z
r
z
∂ ( )
∂
= −
∂
∂
et donc
∂ ( )
∂
= −
∂ ( )
∂
rU
r
rU
z
r
z
d étant une différentielle totale exacte, on peut écrire :
d
d
d
d
d
d
d



r z
r
r
z
z
rU
rU
r
z F r F z
z
r
,
( ) =
∂
∂
+
∂
∂
= −
+
=
+
1
2
Car d’après le théorème de Schwartz, on a bien ∂ ∂ = ∂ ∂
F z
F r
1
2
et on vérifie bien que

 est perpendiculaire à 
  :
∇ ⋅ ∇ =
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
−
(
) + ( ) =
ϕ ψ
ϕ ψ
ϕ ψ
r r
z z
U
U
U U
r
r
r
z
z
r
0
La fonction de courant peut être déterminée par :
∂
∂
=
∂
∂
=


 



−
=
=


r
U
z
U
r
k z r
r
k r
z
r
4
2 2
9782100549337-Livre.indb 86
31/07/11 12:59