Solutions
85
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
(3.4)
1.On a :
∇ ⋅ =
∂ ( )
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
+ ′ =
U r
rU
r
r
U
r
U
z
k r
r
k
r
z
1
1
4
0
dans le cas d’un fluide incompressible. Donc ′ = −
k
k
4 et U
k r e
k z e
r
z
=
−
2
4
2.On calcule le rotationnel en coordonnées cylindriques :
∇ ∧ =
∂
∂
−
∂ (
)
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
=
U
r
U
rU
z
U
z
U
r
r
z
r
z
1
0
0
1
∂ ∂ (
)
∂
−
∂
∂
=
rU
z
U r
0
L’écoulement est donc bien irrotationnel.
3.Par définition :
a
U U
U
U U
=
∇
( ) = ∇
+
∧
.
2
2
rot
Or U
k r
k z
k r
z
=
+
=
+
4
16
2
4
2 2
2 2
2
2
U
k r
z
2
2 2
2
2
2
4
=
+
(
)
De plus ∇ =
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
r
r
z
e
e
e
r
z
1
D’où ∇
=
+
=
+
U
k r
k z
k r
z
e
e
e
e
r
z
r
2
2
2
2
2
4
16
4
4 z z
(
) et donc :
a
k r
z
e
e
r
z
=
+
(
)
4
4
2
4.Comme rot
U 0 =
tel que U
= ∇
2
1
0
1
2
4
3
kr
r
r
kz
z
=
∂
∂
( )
=
∂
∂
( )
−
=
∂
∂
( )
ϕ
ϕ
θ
ϕ
(2)
= ( )
r z
,
(1) =
+
k r
C z
( )
2
1
. Et donc
∂
∂
= ¢ ( ) = -
f
z
C z
kz
1
4 C z
kz
C
1
2
2
2
( ) = −
+
9782100549337-Livre.indb 85
31/07/11 12:59
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© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
(3.4)
1.On a :
∇ ⋅ =
∂ ( )
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
+ ′ =
U r
rU
r
r
U
r
U
z
k r
r
k
r
z
1
1
4
0
dans le cas d’un fluide incompressible. Donc ′ = −
k
k
4 et U
k r e
k z e
r
z
=
−
2
4
2.On calcule le rotationnel en coordonnées cylindriques :
∇ ∧ =
∂
∂
−
∂ (
)
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
=
U
r
U
rU
z
U
z
U
r
r
z
r
z
1
0
0
1
∂ ∂ (
)
∂
−
∂
∂
=
rU
z
U r
0
L’écoulement est donc bien irrotationnel.
3.Par définition :
a
U U
U
U U
=
∇
( ) = ∇
+
∧
.
2
2
rot
Or U
k r
k z
k r
z
=
+
=
+
4
16
2
4
2 2
2 2
2
2
U
k r
z
2
2 2
2
2
2
4
=
+
(
)
De plus ∇ =
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
r
r
z
e
e
e
r
z
1
D’où ∇
=
+
=
+
U
k r
k z
k r
z
e
e
e
e
r
z
r
2
2
2
2
2
4
16
4
4 z z
(
) et donc :
a
k r
z
e
e
r
z
=
+
(
)
4
4
2
4.Comme rot
U 0 =
tel que U
= ∇
2
1
0
1
2
4
3
kr
r
r
kz
z
=
∂
∂
( )
=
∂
∂
( )
−
=
∂
∂
( )
ϕ
ϕ
θ
ϕ
(2)
= ( )
r z
,
(1) =
+
k r
C z
( )
2
1
. Et donc
∂
∂
= ¢ ( ) = -
f
z
C z
kz
1
4 C z
kz
C
1
2
2
2
( ) = −
+
9782100549337-Livre.indb 85
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