Contents
xix
15.3
Some Properties of the Hardening Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
15.4
Another Form of Strain Ratios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
15.5
Unloading Laws. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
15.6
Work of Stresses, Potential Energy, and Potentials. . . . . . . . . . . . . . . . 203
15.6.1
Stress Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
15.6.2
Potential of Strains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
15.7
Theorem of the Minimal Work of Inner Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
15.8
Lagrange Equilibrium Variation Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
15.9
Setting Boundary Problems of Plasticity Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
15.10 Theorem of Simple Loading. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
15.11 Theorem of Unloading. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
16 Solution of the Simplest Problems for the Strain Theory of Plasticity 219
16.1
Pure Bending of a Straight Beam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
16.2
Torsion of a Round-Section Beam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
16.3
Elastic–Plastic Inflation of a Spherical Vessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
16.4
Symmetric Strain of a Cylindrical Tube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
16.5
Torsion of a Beam of Ideally Plastic Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
16.5.1
Elastic Torsion: Prandtl Analogy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
16.5.2
Elastic–Plastic Beam Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
16.6
Rod of a Variable Section: Method of Elastic Solutions . . . . . . . . . . 240
16.6.1
Preparation of Initial Ratios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
16.6.2
Specification of Problem Setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
16.6.3
Algorithm of the Elastic Solutions Method. . . . . . . . . . . . . 243
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
17 Additions and Generalizations to the Strain Theory of Plasticity. . . . . 245
17.1
Generalizations of Goldenblatt and Prager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
17.2
Tensor–Linear Ratios in Plasticity Theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
17.3
Vector Representation of Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
17.4
Transformations of Rotation and Reflection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
17.5
Ilyushin’s Isotropy Postulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
17.6
Delay Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
17.7
Loading Surface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
17.8
Drucker Postulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
17.9
On the Applicability Limits of the Strain Theory of Plasticity . . . 260
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
18 Theories of Plastic Yield . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
18.1
General Ratios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
18.2
Prandtl–Reuss Yield . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
18.3
Saint-Venant–Mises Yield Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
18.4
Plastic Yield in Isotropic Hardening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
18.5
Handelman–Lin–Prager Plasticity Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
18.6
Yield for Plane Loading Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
xix
15.3
Some Properties of the Hardening Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
15.4
Another Form of Strain Ratios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
15.5
Unloading Laws. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
15.6
Work of Stresses, Potential Energy, and Potentials. . . . . . . . . . . . . . . . 203
15.6.1
Stress Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
15.6.2
Potential of Strains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
15.7
Theorem of the Minimal Work of Inner Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
15.8
Lagrange Equilibrium Variation Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
15.9
Setting Boundary Problems of Plasticity Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
15.10 Theorem of Simple Loading. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
15.11 Theorem of Unloading. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
16 Solution of the Simplest Problems for the Strain Theory of Plasticity 219
16.1
Pure Bending of a Straight Beam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
16.2
Torsion of a Round-Section Beam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
16.3
Elastic–Plastic Inflation of a Spherical Vessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
16.4
Symmetric Strain of a Cylindrical Tube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
16.5
Torsion of a Beam of Ideally Plastic Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
16.5.1
Elastic Torsion: Prandtl Analogy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
16.5.2
Elastic–Plastic Beam Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
16.6
Rod of a Variable Section: Method of Elastic Solutions . . . . . . . . . . 240
16.6.1
Preparation of Initial Ratios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
16.6.2
Specification of Problem Setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
16.6.3
Algorithm of the Elastic Solutions Method. . . . . . . . . . . . . 243
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
17 Additions and Generalizations to the Strain Theory of Plasticity. . . . . 245
17.1
Generalizations of Goldenblatt and Prager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
17.2
Tensor–Linear Ratios in Plasticity Theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
17.3
Vector Representation of Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
17.4
Transformations of Rotation and Reflection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
17.5
Ilyushin’s Isotropy Postulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
17.6
Delay Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
17.7
Loading Surface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
17.8
Drucker Postulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
17.9
On the Applicability Limits of the Strain Theory of Plasticity . . . 260
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
18 Theories of Plastic Yield . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
18.1
General Ratios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
18.2
Prandtl–Reuss Yield . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
18.3
Saint-Venant–Mises Yield Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
18.4
Plastic Yield in Isotropic Hardening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
18.5
Handelman–Lin–Prager Plasticity Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
18.6
Yield for Plane Loading Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273