xviii
Contents
11.9
Main Types of Stability Loss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
11.10 Methods for Determining Critical Load . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
11.11 The Perturbed Motion of the Compressed Rod. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
11.12 Stability Under Non-conservative Load (Example) . . . . . . . . . . . . . . . 131
11.12.1 Equations of Perturbed Motion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
11.12.2 Area of Valid Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
11.12.3 Investigation of the Value μ, (Formula (11.31)) . . . . . 135
11.12.4 Investigation of the Effect of Friction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
11.12.5 The influence of the spacing of the End Masses . . . . . . . 140
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Part II Principal Variants of Mathematical Plasticity Theory
12 Origin and Development of Plasticity Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
12.1
Primary Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
12.2
The Subject and Tasks of the Theory of Plasticity . . . . . . . . . . . . . . . . 146
12.3
Early Development Stages of Plasticity Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
12.4
Development of Plasticity Theory in the Twentieth Century . . . . . 148
12.5
Soviet Period of Plasticity Theory Development . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
12.6
Russian Mechanics in the Post-Soviet Period . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
12.6.1
General Situation and Dangerous Trends . . . . . . . . . . . . . . . 152
12.6.2
Plasticity Theory in Russia in the Post-Soviet Period . . 155
12.7
Abstract. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
13 Initial Concepts of Plasticity Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
13.1
Second-Rank Tensor in Euclidean Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
13.2
Tensors in Plasticity Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
13.3
Decomposition of Stress and Strain Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
13.4
Other Invariants in Plasticity Theory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
13.5
On the Criterion of Similarity of Stress and Strain Deviators . . . . 174
13.6
Stress Diagrams and Their Idealization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
14 On the Plasticity Conditions of an Isotropic Body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
14.1
General Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
14.2
General Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
14.3
Tresca Plasticity Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
14.4
Huber–Mises Plasticity Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
14.5
Experimental Study of Elastic–Plastic Materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
14.6
Volumetric Elasticity of Materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
14.7
Invariant Form of Hooke’s Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
15 Plasticity Theory of Henky–Nadai–Ilyushin . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
15.1
Laws of Active Elastic–Plastic Deformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
15.2
Defining the Universal Hardening Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Contents
11.9
Main Types of Stability Loss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
11.10 Methods for Determining Critical Load . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
11.11 The Perturbed Motion of the Compressed Rod. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
11.12 Stability Under Non-conservative Load (Example) . . . . . . . . . . . . . . . 131
11.12.1 Equations of Perturbed Motion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
11.12.2 Area of Valid Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
11.12.3 Investigation of the Value μ, (Formula (11.31)) . . . . . 135
11.12.4 Investigation of the Effect of Friction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
11.12.5 The influence of the spacing of the End Masses . . . . . . . 140
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Part II Principal Variants of Mathematical Plasticity Theory
12 Origin and Development of Plasticity Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
12.1
Primary Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
12.2
The Subject and Tasks of the Theory of Plasticity . . . . . . . . . . . . . . . . 146
12.3
Early Development Stages of Plasticity Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
12.4
Development of Plasticity Theory in the Twentieth Century . . . . . 148
12.5
Soviet Period of Plasticity Theory Development . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
12.6
Russian Mechanics in the Post-Soviet Period . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
12.6.1
General Situation and Dangerous Trends . . . . . . . . . . . . . . . 152
12.6.2
Plasticity Theory in Russia in the Post-Soviet Period . . 155
12.7
Abstract. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
13 Initial Concepts of Plasticity Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
13.1
Second-Rank Tensor in Euclidean Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
13.2
Tensors in Plasticity Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
13.3
Decomposition of Stress and Strain Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
13.4
Other Invariants in Plasticity Theory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
13.5
On the Criterion of Similarity of Stress and Strain Deviators . . . . 174
13.6
Stress Diagrams and Their Idealization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
14 On the Plasticity Conditions of an Isotropic Body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
14.1
General Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
14.2
General Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
14.3
Tresca Plasticity Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
14.4
Huber–Mises Plasticity Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
14.5
Experimental Study of Elastic–Plastic Materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
14.6
Volumetric Elasticity of Materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
14.7
Invariant Form of Hooke’s Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
15 Plasticity Theory of Henky–Nadai–Ilyushin . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
15.1
Laws of Active Elastic–Plastic Deformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
15.2
Defining the Universal Hardening Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197