Contents
xvii
8
Linear Elastic Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.1
General Comments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.2
Linear System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.3
Potential Energy of a Helical Spring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.4
Principle of Mutuality of Works . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8.5
Castigliano’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8.6
Specific Potential Energy of Elastic Deformation . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9
Plane Problem of Elasticity Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9.1
Functions of Stresses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9.1.1
Example 1: Concentrated Force in the Wedge Apex . . . 88
9.1.2
Example 2: Wedge Bending by Uniform Pressure . . . . . 89
9.2
Complex Representation of a Bi-Harmonic Function . . . . . . . . . . . . . 90
9.3
Kolosov Displacement Integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
9.4
Action of Concentrated Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
9.5
Solution of the First Principal Problem for a Circle . . . . . . . . . . . . . . . 93
9.6
Annex to the Brazilian Test. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
10 Mathematical Structural Imperfections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
10.1
Mathematical and Physical Theories of Structural Imperfections 101
10.2
Edge Dislocation in an Infinite Body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
10.3
Mathematical Wedge-Shaped Dislocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
10.4
Mathematical Biclination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
10.5
Flat Dislocation of Somigliana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
10.6
Somigliana Dislocation in Half-Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
10.6.1
Functions , , for the Plane with Dislocation . . . . . . . . 108
10.6.2
Functions , , for a Half-Plane with Dislocation . . . . 109
10.6.3
Calculation of Galin Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
10.6.4
Completion of Problem Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
10.6.5
Addition to Geomechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
10.7
Pair of Fislocations in a Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
10.8
Edge Dislocation in a Half-Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
10.9
Half-Plane with a System of Dislocations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
11 The Beginning of the Theory of Stability of Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . 121
11.1
Stability and Instability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
11.2
Work and Classification of Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
11.3
Stability with Conservative and Dissipative Forces . . . . . . . . . . . . . . . 123
11.4
Lyapunov–Chetaev Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
11.5
Instability in the First Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
11.6
Critical Load . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
11.7
The Theorem on Stability by the First Approximation. . . . . . . . . . . . 126
11.8
The Raus–Hurwitz criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
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Linear Elastic Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.1
General Comments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.2
Linear System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.3
Potential Energy of a Helical Spring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.4
Principle of Mutuality of Works . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8.5
Castigliano’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
8.6
Specific Potential Energy of Elastic Deformation . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
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Plane Problem of Elasticity Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9.1
Functions of Stresses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9.1.1
Example 1: Concentrated Force in the Wedge Apex . . . 88
9.1.2
Example 2: Wedge Bending by Uniform Pressure . . . . . 89
9.2
Complex Representation of a Bi-Harmonic Function . . . . . . . . . . . . . 90
9.3
Kolosov Displacement Integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
9.4
Action of Concentrated Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
9.5
Solution of the First Principal Problem for a Circle . . . . . . . . . . . . . . . 93
9.6
Annex to the Brazilian Test. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
10 Mathematical Structural Imperfections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
10.1
Mathematical and Physical Theories of Structural Imperfections 101
10.2
Edge Dislocation in an Infinite Body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
10.3
Mathematical Wedge-Shaped Dislocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
10.4
Mathematical Biclination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
10.5
Flat Dislocation of Somigliana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
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Somigliana Dislocation in Half-Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
10.6.1
Functions , , for the Plane with Dislocation . . . . . . . . 108
10.6.2
Functions , , for a Half-Plane with Dislocation . . . . 109
10.6.3
Calculation of Galin Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
10.6.4
Completion of Problem Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
10.6.5
Addition to Geomechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
10.7
Pair of Fislocations in a Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
10.8
Edge Dislocation in a Half-Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
10.9
Half-Plane with a System of Dislocations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
11 The Beginning of the Theory of Stability of Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . 121
11.1
Stability and Instability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
11.2
Work and Classification of Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
11.3
Stability with Conservative and Dissipative Forces . . . . . . . . . . . . . . . 123
11.4
Lyapunov–Chetaev Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
11.5
Instability in the First Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
11.6
Critical Load . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
11.7
The Theorem on Stability by the First Approximation. . . . . . . . . . . . 126
11.8
The Raus–Hurwitz criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126