xvi
Contents
2.7
The First Basic Problem of Elasticity Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3
The Second Primary Problem of Elasticity Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1
Definition of Stresses Through Deformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2
Equations of Elastic Body Strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3
Application of Harmonic Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4
Trefftz Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5
Grodsky–Neyber–Papkovich Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4
Three-Dimensional Harmonic Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.1
Simplest Examples of Harmonic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2
Green Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3
Green’s Spatial Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.4
Boundary Problems for Half-Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.5
Other Properties of Harmonic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5
Elastic Half-Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.1
Volumetric Expansion on Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2
Stress on Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.3
Strain of Elastic Half-Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.3.1
Integral Operator of Formulas (5.18)–(5.20) . . . . . . . . . . . 49
5.4
Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6
Herz’s Task . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.1
Deformation of Adjoining Bodies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.2
Primary Assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.3
Axisymmetric Hertz Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.4
Compression of Orthogonal Cylinders. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.4.1
Simplest Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.4.2
Primary Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.5
Compression of Barrel-Shaped Bodies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.5.1
Rotation Bodies with Parallel Axes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.5.2
Case of Intersecting Axes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.6
Elongated Contact Area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.7
Compression of Parallel Cylinders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7
Stressed State in a Body Point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.1
Principal Stresses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.2
Maximum Stresses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.3
Intensity of Stresses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.4
Some Properties of Tangential Stresses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75