156
6 Mathematical Models of Micro- and Nano-cylindrical Panels in Temperature Field
Equations (6.68)–(6.74) are recast to the following counterpart non-dimensional
forms (bars over the non-dimensional parameters are omitted):
λ
2 ∂
∂ x
J 0
∂u
∂ x
+ kw +
1
2
∂w
∂ x
2
+ (J 1 − α J 3 )
∂ϕ
∂ x
− α J 3
∂
2 w
∂ x 2
+
+ f −
∂ N
T
∂ x
= I 0
∂
2 u
∂t 2 + (I 1 − α I 3 )
∂
2
ϕ
∂t 2 − α I 3
∂
3 w
∂ x∂t 2 ,
(6.89)
λ
2 ∂
∂ x
J 1
∂u
∂ x
+ kw +
1
2
∂w
∂ x
2
+ J 2
∂ϕ
∂ x
− α J 4
∂ϕ
∂ x
+
∂
2 w
∂ x 2
−
−λ
4
(A 0 − 3α A 2 )
ϕ +
∂ w
∂ x
+ 3α
λ
4
(A 2 − 3α A 4 )
ϕ +
∂ w
∂ x
+
+
1
2
λ
2 B 1 k
∂ w
∂ x
− 6α B 2 λ
4
ϕ +
∂ w
∂ x
+
+
λ
2
4
∂
∂ x
B 0
∂ϕ
∂ x
−
∂
2 w
∂ x 2
− 3α B 2
∂ϕ
∂ x
+
∂
2 w
∂ x 2
−
(6.90)
+
λ
2
4
∂
∂ x
B 0
∂ϕ
∂ x
−
∂
2 w
∂ x 2
− 3α B 2
∂ϕ
∂ x
+
∂
2 w
∂ x 2
−
−αλ
2 ∂
∂ x
J 3
∂u
∂ x
+ kw +
1
2
∂w
∂ x
2
+ (J 4 − α J 6 )
∂ϕ
∂ x
− α J 6
∂
2 w
∂ x 2 +
+
3
4
B 2
∂ϕ
∂ x
−
∂
2 w
∂ x 2
− 3α B 4
∂ϕ
∂ x
+
∂
2 w
∂ x 2
+
λ
2
2
(C 0 − 3α C 2 ) −
−λ
2 ∂ M
T
∂ x
+ αλ
2 ∂ P
T
∂ x
= (I 1 − α I 3 )
∂
2 u
∂t 2 + (I 2 − α I 4 )
∂
2
ϕ
∂t 2 −
−α (I 4 − α I 6 )
∂
2
ϕ
∂t 2 +
∂
3 w
∂ x∂t 2
,
λ
2 ∂
∂ x
(A 0 − 3α A 2 )
ϕ +
∂ w
∂ x
− k
J 0
∂u
∂ x
+ kw +
1
2
∂w
∂ x
2
+