6.4 Technical Theory for the Different Models
157
+ (J 1 − α J 3 )
∂ϕ
∂ x
− α J 3
∂
2 w
∂ x 2
+
∂
∂ x
J 0
∂u
∂ x
+ kw +
1
2
∂w
∂ x
2
+
+ (J 1 − α J 3 )
∂ϕ
∂ x
− α J 3
∂
2 w
∂ x 2
∂w
∂ x
+
1
4
∂
∂ x
∂
∂ x
B 0
∂ϕ
∂ x
−
∂
2 w
∂ x 2
−
−3α B 2
∂ϕ
∂ x
+
∂
2 w
∂ x 2
+ k
(B 0 k − 6α B 1 )
∂w
∂ x
− 6α B 1 ϕ
+
(6.91)
+α
∂
2
∂ x 2
J 3
∂u
∂ x
+ kw +
1
2
∂w
∂ x
2
+ (J 4 − α J 6 )
∂ϕ
∂ x
− α J 6
∂
2 w
∂ x 2
−
−3λ
2
α
∂
∂ x
(A 2 − 3α A 4 )
ϕ +
∂ w
∂ x
+
1
2
(B 1 k − 6α B 2 )
∂w
∂ x
− 6α B 2 ϕ
−
−
3
4
∂
∂ x
B 2
∂ϕ
∂ x
−
∂
2 w
∂ x 2
− 3α B 4
∂ϕ
∂ x
+
∂
2 w
∂ x 2
+
+
1
2
∂
∂ x
(C 0 + 3αC 2 ) + k N
T
−
∂
∂ x
N
T ∂w
∂ x
− α
∂
2 P
T
∂ x 2 + q =
= I 0
∂
2 w
∂t 2 + α I 3
∂
3 u
∂ x∂t 2 + α I 4
∂
3
ϕ
∂ x∂t 2 − α
2 I 6
∂
4 w
∂ x 2 ∂t 2 +
∂
3
ϕ
∂ x∂t 2
and with the boundary conditions
J 0
∂u
∂ x
+ kw +
1
2
∂w
∂ x
2
+ (J 1 − α J 3 )
∂ϕ
∂ x
− α J 3
∂
2 w
∂ x 2
− N
T
x=1
x=0
= ¯
N
(6.92)
or
u|
x=1
x=0 = ¯
u,
J 1
∂u
∂ x
+ kw +
1
2
∂w
∂ x
2
+ (J 2 − α J 4 )
∂ϕ
∂ x
− α J 4
∂
2 w
∂ x 2 −
−α
J 3
∂u
∂ x
+ kw +
1
2
∂w
∂ x
2
+ (J 4 − α J 6 )
∂ϕ
∂ x
− α J 6
∂
2 w
∂ x 2
+
+
1
4
B 0
∂ϕ
∂ x
−
∂
2 w
∂ x 2
− 3α B 2
∂ϕ
∂ x
+
∂
2 w
∂ x 2
−
(6.93)