6.5 Tools for Predicting the Onset of Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
6.5.1 Criteria Related to the Universal Routes of Chaos . . . . . 348
6.5.2 Searching for Homoclinic Tangles and Smale
Horseshoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
6.5.3 The Melnikov Criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
6.5.4 Criteria Based on Local Perturbation Analysis . . . . . . . . 358
6.5.5 Criteria for Conservative Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
6.6 Mechanical Systems and Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
6.6.1 The Lorenz System (D = 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
6.6.2 Duffing-Type Systems (D = 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
6.6.3 Pendulum-Type Systems (D = 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
6.6.4 Piecewise Linear Systems (D ! 3) . . . . . . . . . . . . . . . . 366
6.6.5 Coupled Autonomous Systems (D ! 4) . . . . . . . . . . . . 369
6.6.6 Autoparametric Systems (D ! 5) . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
6.6.7 High-Order Systems (D > 5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
6.6.8 Other Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
6.7 Elastostatical Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
6.8 Spatial and Spatiotemporal Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
6.9 Controlling Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
6.10 Closing Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
6.11 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
7 Special Effects of High-Frequency Excitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
7.2 The Method of Direct Separation of Motions (MDSM) . . . . . . . . 388
7.2.1 Outline of the MDSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
7.2.2 The Concept of Vibrational Force . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
7.2.3 The MDSM Compared to Classic Perturbation
Approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
7.3 Simple Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
7.3.1 Pendulum on a Vibrating Support (Stiffening
and Biasing) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
7.3.2 Mass on a Vibrating Plane (Smoothening
and Biasing) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
7.3.3 Brumberg’s Pipe (Smoothening and Biasing) . . . . . . . . . 401
7.4 A Slight but Useful Generalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
7.5 A Fairly General Class of Discrete Systems . . . . . . . . . . . . . . . . 405
7.5.1 The System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
7.5.2 Example Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
7.5.3 The Averaged System Governing the ‘Slow’
Motions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
7.5.4 Interpretation of Averaged Forcing Terms . . . . . . . . . . . 410
7.5.5 The Effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
7.5.6 Stiffening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
7.5.7 Biasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
Contents
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6.5.1 Criteria Related to the Universal Routes of Chaos . . . . . 348
6.5.2 Searching for Homoclinic Tangles and Smale
Horseshoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
6.5.3 The Melnikov Criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
6.5.4 Criteria Based on Local Perturbation Analysis . . . . . . . . 358
6.5.5 Criteria for Conservative Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
6.6 Mechanical Systems and Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
6.6.1 The Lorenz System (D = 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
6.6.2 Duffing-Type Systems (D = 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
6.6.3 Pendulum-Type Systems (D = 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
6.6.4 Piecewise Linear Systems (D ! 3) . . . . . . . . . . . . . . . . 366
6.6.5 Coupled Autonomous Systems (D ! 4) . . . . . . . . . . . . 369
6.6.6 Autoparametric Systems (D ! 5) . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
6.6.7 High-Order Systems (D > 5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
6.6.8 Other Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
6.7 Elastostatical Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
6.8 Spatial and Spatiotemporal Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
6.9 Controlling Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
6.10 Closing Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
6.11 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
7 Special Effects of High-Frequency Excitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
7.2 The Method of Direct Separation of Motions (MDSM) . . . . . . . . 388
7.2.1 Outline of the MDSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
7.2.2 The Concept of Vibrational Force . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
7.2.3 The MDSM Compared to Classic Perturbation
Approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
7.3 Simple Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
7.3.1 Pendulum on a Vibrating Support (Stiffening
and Biasing) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
7.3.2 Mass on a Vibrating Plane (Smoothening
and Biasing) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
7.3.3 Brumberg’s Pipe (Smoothening and Biasing) . . . . . . . . . 401
7.4 A Slight but Useful Generalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
7.5 A Fairly General Class of Discrete Systems . . . . . . . . . . . . . . . . 405
7.5.1 The System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
7.5.2 Example Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
7.5.3 The Averaged System Governing the ‘Slow’
Motions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
7.5.4 Interpretation of Averaged Forcing Terms . . . . . . . . . . . 410
7.5.5 The Effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
7.5.6 Stiffening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
7.5.7 Biasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
Contents
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