5.5 Center Manifold Reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
5.5.1 The Center Manifold Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
5.5.2 Implications of the Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
5.5.3 Computing the Center Manifold Reduction . . . . . . . . . . 287
5.5.4 An Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
5.5.5 Summing Up on Center Manifold Reduction . . . . . . . . . 291
5.6 Normal Form Reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
5.7 Bifurcating Periodic Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
5.8 Grouping Bifurcations According to their Effect . . . . . . . . . . . . . 293
5.9 On the Stability of Bifurcations to Perturbations . . . . . . . . . . . . . 294
5.9.1 Stability of a Saddle-node Bifurcation . . . . . . . . . . . . . . 294
5.9.2 Stability of a Supercritical Pitchfork Bifurcation . . . . . . . 295
5.10 Summing Up on Different Notions of Stability . . . . . . . . . . . . . . 296
5.11 Graphing Bifurcations: Numerical Continuation Techniques . . . . 298
5.11.1 Sequential Continuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
5.11.2 Pseudo-arclength Continuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
5.11.3 Locating Bifurcation Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
5.12 Bifurcation Analysis and Continuation in Lab Experiments . . . . . 304
5.13 Nonlinear Normal Modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
5.14 Examples of Bifurcating Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
5.14.1 Midplane Stretching (Duffing’s Equation) . . . . . . . . . . . 310
5.14.2 Pendulum with a Moving Support (Parametric
Excitation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
5.14.3 The Autoparametric Vibration Absorber . . . . . . . . . . . . 315
5.14.4 The Partially Follower-loaded Double Pendulum . . . . . . 317
5.15 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
6 Chaotic Vibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
6.2 First Example of a Chaotic System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
6.3 Tools for Detecting Chaotic Vibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
6.3.1 Phase Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
6.3.2 Frequency Spectra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
6.3.3 Poincaré Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
6.3.4 Lyapunov Exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
6.3.5 Horizons of Predictability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
6.3.6 Attractor Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
6.3.7 Basins of Attraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
6.3.8 Summary on Detection Tools . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
6.4 Universal Routes to Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
6.4.1 The Period-Doubling Route . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
6.4.2 The Quasiperiodic Route . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
6.4.3 The Transient Route . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
6.4.4 The Intermittency Route . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
6.4.5 Summary on the Routes to Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
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Contents
5.5.1 The Center Manifold Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
5.5.2 Implications of the Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
5.5.3 Computing the Center Manifold Reduction . . . . . . . . . . 287
5.5.4 An Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
5.5.5 Summing Up on Center Manifold Reduction . . . . . . . . . 291
5.6 Normal Form Reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
5.7 Bifurcating Periodic Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
5.8 Grouping Bifurcations According to their Effect . . . . . . . . . . . . . 293
5.9 On the Stability of Bifurcations to Perturbations . . . . . . . . . . . . . 294
5.9.1 Stability of a Saddle-node Bifurcation . . . . . . . . . . . . . . 294
5.9.2 Stability of a Supercritical Pitchfork Bifurcation . . . . . . . 295
5.10 Summing Up on Different Notions of Stability . . . . . . . . . . . . . . 296
5.11 Graphing Bifurcations: Numerical Continuation Techniques . . . . 298
5.11.1 Sequential Continuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
5.11.2 Pseudo-arclength Continuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
5.11.3 Locating Bifurcation Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
5.12 Bifurcation Analysis and Continuation in Lab Experiments . . . . . 304
5.13 Nonlinear Normal Modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
5.14 Examples of Bifurcating Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
5.14.1 Midplane Stretching (Duffing’s Equation) . . . . . . . . . . . 310
5.14.2 Pendulum with a Moving Support (Parametric
Excitation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
5.14.3 The Autoparametric Vibration Absorber . . . . . . . . . . . . 315
5.14.4 The Partially Follower-loaded Double Pendulum . . . . . . 317
5.15 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
6 Chaotic Vibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
6.2 First Example of a Chaotic System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
6.3 Tools for Detecting Chaotic Vibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
6.3.1 Phase Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
6.3.2 Frequency Spectra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
6.3.3 Poincaré Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
6.3.4 Lyapunov Exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
6.3.5 Horizons of Predictability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
6.3.6 Attractor Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
6.3.7 Basins of Attraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
6.3.8 Summary on Detection Tools . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
6.4 Universal Routes to Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
6.4.1 The Period-Doubling Route . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
6.4.2 The Quasiperiodic Route . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
6.4.3 The Transient Route . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
6.4.4 The Intermittency Route . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
6.4.5 Summary on the Routes to Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
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