4.3 Nonlinear Mode-Coupling of Non-shallow Arches . . . . . . . . . . . 220
4.3.1 The Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
4.3.2 Linear Response and Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
4.3.3 Nonlinear Response and Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
4.4 Other Systems Possessing Internal Resonance . . . . . . . . . . . . . . 227
4.5 The Follower-Loaded Double Pendulum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
4.5.1 The Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
4.5.2 The Zero Solution and Its Stability . . . . . . . . . . . . . . . . 231
4.5.3 Periodic Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
4.5.4 Non-periodic and Non-zero Static Solutions . . . . . . . . . . 237
4.5.5 Summing Up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
4.6 Pendulum with a Sliding Disk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
4.6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
4.6.2 The System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
4.6.3 Equations of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
4.6.4 Inspecting the Equations of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . 240
4.6.5 Seeking Quasi-statical Equilibriums by Averaging . . . . . 241
4.7 String with a Sliding Point Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
4.7.1 Model System and Equations of Motion . . . . . . . . . . . . 243
4.7.2 Illustration of System Behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
4.7.3 Response to Near-Resonant Base Excitation . . . . . . . . . 248
4.7.4 Response to Slow Frequency-Sweeps . . . . . . . . . . . . . . 251
4.7.5 Response to Near-Resonant Axial Excitation . . . . . . . . . 254
4.7.6 Non-trivial Effects of Rotary Inertia . . . . . . . . . . . . . . . 257
4.7.7 Summing Up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
4.8 Vibration-Induced Fluid Flow in Pipes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
4.9 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
5 Bifurcation Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
5.2 Systems, Bifurcations, and Bifurcation Conditions . . . . . . . . . . . 272
5.2.1 Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
5.2.2 Bifurcations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
5.2.3 Bifurcation Conditions: Structural Instability . . . . . . . . . 273
5.3 Codimension One Bifurcations of Equilibriums . . . . . . . . . . . . . 274
5.3.1 The Pitchfork Bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
5.3.2 The Saddle-node Bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
5.3.3 The Transcritical Bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
5.3.4 The Hopf Bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
5.4 Codimension One Bifurcations for N-dimensional Systems . . . . . 280
5.4.1 Saddle-Node Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
5.4.2 Transcritical and Pitchfork Conditions . . . . . . . . . . . . . . 282
5.4.3 Hopf Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
Contents
xv