3.5.3 The Straightforward Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.5.4 The Method of Multiple Scales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.5.5 The Method of Averaging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.5.6 The Method of Harmonic Balance . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.6 The Forced Response – Multiple Scales Analysis . . . . . . . . . . . . 129
3.6.1 Posing the Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.6.2 Perturbation Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.6.3 The Non-resonant Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.6.4 The Near-Resonant Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.6.5 Stability of Stationary Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.6.6 Discussing Stationary Responses . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.7 Externally Excited Duffing Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.7.1 Two Physical Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.7.2 Primary Resonance, Weak Excitations . . . . . . . . . . . . . . 153
3.7.3 Non-resonant Hard Excitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
3.7.4 Obtaining Forced Responses by Averaging . . . . . . . . . . 166
3.7.5 Multiple Scales Analysis with Strong Nonlinearity . . . . . 170
3.8 Two More Classical Nonlinear Oscillators . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
3.8.1 The Van Der Pol Oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
3.8.2 The Rayleigh Oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
3.9 Vibro-Impact Analysis Using Discontinuous Transformations . . . 175
3.9.1 The Unfolding Discontinuous Transformation: Basic
Idea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
3.9.2 Averaging for Vibro-Impact Systems: General
Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
3.9.3 Example 1: Damped Harmonic Oscillator Impacting
a Stop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
3.9.4 Example 2: Mass in a Clearance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
3.9.5 Example 3: Self-excited Friction Oscillator with
a One-Sided Stop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
3.9.6 Example 4: Self-excited Friction Oscillator in
a Clearance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
3.9.7 Second-Order Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
3.10 Summing Up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
3.11 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
4 Nonlinear Multiple-DOF Systems: Local Analysis . . . . . . . . . . . . . . 209
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
4.2 The Autoparametric Vibration Absorber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
4.2.1 The System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
4.2.2 First-Order Approximate Response . . . . . . . . . . . . . . . . 213
4.2.3 Frequency and Force Responses . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
4.2.4 Concluding Remarks on the Vibration Absorber . . . . . . 218
xiv
Contents
3.5.4 The Method of Multiple Scales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.5.5 The Method of Averaging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.5.6 The Method of Harmonic Balance . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.6 The Forced Response – Multiple Scales Analysis . . . . . . . . . . . . 129
3.6.1 Posing the Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.6.2 Perturbation Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.6.3 The Non-resonant Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.6.4 The Near-Resonant Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.6.5 Stability of Stationary Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.6.6 Discussing Stationary Responses . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.7 Externally Excited Duffing Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.7.1 Two Physical Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.7.2 Primary Resonance, Weak Excitations . . . . . . . . . . . . . . 153
3.7.3 Non-resonant Hard Excitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
3.7.4 Obtaining Forced Responses by Averaging . . . . . . . . . . 166
3.7.5 Multiple Scales Analysis with Strong Nonlinearity . . . . . 170
3.8 Two More Classical Nonlinear Oscillators . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
3.8.1 The Van Der Pol Oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
3.8.2 The Rayleigh Oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
3.9 Vibro-Impact Analysis Using Discontinuous Transformations . . . 175
3.9.1 The Unfolding Discontinuous Transformation: Basic
Idea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
3.9.2 Averaging for Vibro-Impact Systems: General
Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
3.9.3 Example 1: Damped Harmonic Oscillator Impacting
a Stop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
3.9.4 Example 2: Mass in a Clearance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
3.9.5 Example 3: Self-excited Friction Oscillator with
a One-Sided Stop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
3.9.6 Example 4: Self-excited Friction Oscillator in
a Clearance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
3.9.7 Second-Order Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
3.10 Summing Up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
3.11 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
4 Nonlinear Multiple-DOF Systems: Local Analysis . . . . . . . . . . . . . . 209
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
4.2 The Autoparametric Vibration Absorber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
4.2.1 The System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
4.2.2 First-Order Approximate Response . . . . . . . . . . . . . . . . 213
4.2.3 Frequency and Force Responses . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
4.2.4 Concluding Remarks on the Vibration Absorber . . . . . . 218
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Contents