2.6.3 Function Classes: Eigen-, Test-, and Admissible
Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.6.4 Adjointness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.6.5 Definiteness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.6.6 Orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.6.7 Three Classes of EVPs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.6.8 The Rayleigh Quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.7 Properties of Eigenvalues and Eigenfunctions . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.7.1 Real-Valueness of Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.7.2 Sign of the Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.7.3 Orthogonality of Eigenfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.7.4 Minimum Properties of the Eigenvalues . . . . . . . . . . . . 70
2.7.5 The Comparison Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.7.6 The Inclusion Theorem for One-Term EVPs . . . . . . . . . 72
2.8 Methods of Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.8.1 Closed-Form Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.8.2 The Method of Eigenfunction Iteration . . . . . . . . . . . . . 75
2.8.3 The Rayleigh–Ritz Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.8.4 The Finite Difference Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.8.5 Collocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.8.6 Composite EVPs: Dunkerley’s and Southwell’s
Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.8.7 The Rayleigh Quotient Estimate and Its Accuracy . . . . . 86
2.8.8 Other Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.9 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3 Nonlinear Vibrations: Classical Local Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.2 Sources of Nonlinearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.2.1 Geometrical Nonlinearities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.2.2 Material Nonlinearities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.2.3 Nonlinear Body Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.2.4 Physical Configuration Nonlinearities . . . . . . . . . . . . . . 100
3.3 Main Example: Pendulum with an Oscillating Support . . . . . . . . 102
3.3.1 Equation of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.4 Qualitative Analysis of the Unforced Response . . . . . . . . . . . . . 104
3.4.1 Recasting the Equations into First-Order Form . . . . . . . . 104
3.4.2 The Phase Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.4.3 Singular Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.4.4 Stability of Singular Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.4.5 On the Behavior of Orbits Near Singular Points . . . . . . . 110
3.5 Quantitative Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.5.1 Approximate Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.5.2 On the “Small Parameter” in Perturbation Analysis . . . . 117
Contents
xiii
Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.6.4 Adjointness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.6.5 Definiteness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.6.6 Orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.6.7 Three Classes of EVPs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.6.8 The Rayleigh Quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.7 Properties of Eigenvalues and Eigenfunctions . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.7.1 Real-Valueness of Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.7.2 Sign of the Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.7.3 Orthogonality of Eigenfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.7.4 Minimum Properties of the Eigenvalues . . . . . . . . . . . . 70
2.7.5 The Comparison Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.7.6 The Inclusion Theorem for One-Term EVPs . . . . . . . . . 72
2.8 Methods of Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.8.1 Closed-Form Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.8.2 The Method of Eigenfunction Iteration . . . . . . . . . . . . . 75
2.8.3 The Rayleigh–Ritz Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.8.4 The Finite Difference Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.8.5 Collocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.8.6 Composite EVPs: Dunkerley’s and Southwell’s
Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.8.7 The Rayleigh Quotient Estimate and Its Accuracy . . . . . 86
2.8.8 Other Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.9 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3 Nonlinear Vibrations: Classical Local Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.2 Sources of Nonlinearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.2.1 Geometrical Nonlinearities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.2.2 Material Nonlinearities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.2.3 Nonlinear Body Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.2.4 Physical Configuration Nonlinearities . . . . . . . . . . . . . . 100
3.3 Main Example: Pendulum with an Oscillating Support . . . . . . . . 102
3.3.1 Equation of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.4 Qualitative Analysis of the Unforced Response . . . . . . . . . . . . . 104
3.4.1 Recasting the Equations into First-Order Form . . . . . . . . 104
3.4.2 The Phase Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.4.3 Singular Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.4.4 Stability of Singular Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.4.5 On the Behavior of Orbits Near Singular Points . . . . . . . 110
3.5 Quantitative Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.5.1 Approximate Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.5.2 On the “Small Parameter” in Perturbation Analysis . . . . 117
Contents
xiii