1.5.3 From PDEs to ODEs: Mode Shape Expansion . . . . . . . . 25
1.5.4 Using Lagrange’s Equations with Continuous Systems . . . 28
1.6 Nondimensionalized Equations of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.7 Damping: Types, Measures, Parameter Relations . . . . . . . . . . . . 31
1.7.1 Damping in Equations of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.7.2 Damping Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.7.3 Damping Measures and Their Relations . . . . . . . . . . . . . 33
1.7.4 Damping Influence on Free Vibration Decay . . . . . . . . . 34
1.7.5 Damping Influence on Resonance Buildup . . . . . . . . . . . 34
1.7.6 Estimating Mass/Stiffness-Proportional Damping
Constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.7.7 Mass/Stiffness Damping Proportionality Constants
for Beams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.8 The Stiffness and Flexibility Methods for Deriving Equations
of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.8.1 Common Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.8.2 The Flexibility Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.8.3 The Stiffness Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.8.4 Maxwell’s Reciprocity Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.9 Classification of Forces and Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.9.1 Force Classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.9.2 System Classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.9.3 Stability Assessment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.10 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2 Eigenvalue Problems of Vibrations and Stability . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2 The Algebraic EVP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.1 Mathematical Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.2 Properties of Eigenvalues and Eigenvectors . . . . . . . . . . 50
2.2.3 Methods of Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3 The Differential EVP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3.1 Mathematical Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4 Stability-Related EVPs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4.1 The Clamped-Hinged Euler Column . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4.2 The Paradox of Follower-Loading . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4.3 Buckling by Gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.5 Vibration-Related EVPs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.5.1 Axial Vibrations of Straight Rods . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.5.2 Flexural Vibrations of Beams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.6 Concepts of Differential EVPs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.6.1 Multiplicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.6.2 Boundary Conditions: Essential or
Natural/Suppressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
xii
Contents