Contents
1 Vibration Basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Single Degree of Freedom Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2.1 Undamped Free Vibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2.2 Damped Free Vibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2.3 Harmonic Forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2.4 Arbitrary Forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3 Multiple Degree of Freedom Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3.1 Equations of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3.2 Undamped Free Vibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3.3 Orthogonality of Modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3.4 Damped Free Vibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3.5 Harmonically Forced Vibrations, No Damping . . . . . . . .
8
1.3.6 Harmonically Forced Vibrations, Damping Included . . . .
9
1.3.7 General Periodic Forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.8 Arbitrary Forcing, Transients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Continuous Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1 Equations of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.2 Undamped Free Vibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.3 Orthogonality of Modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.4 Normal Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.5 Forced Vibrations, No Damping . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.6 Forced Vibrations, Damping Included . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.7 Complex-Valued Eigenvalues and Mode Shapes . . . . . . 18
1.4.8 Rayleigh’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.9 Ritz Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 Energy Methods for Setting up Equations of Motion . . . . . . . . . 20
1.5.1 Lagrange’s Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.2 Hamilton’s Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
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1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2 Single Degree of Freedom Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2.1 Undamped Free Vibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2.2 Damped Free Vibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2.3 Harmonic Forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2.4 Arbitrary Forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.3 Multiple Degree of Freedom Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.3.1 Equations of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.3.2 Undamped Free Vibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.3.3 Orthogonality of Modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.3.4 Damped Free Vibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.3.5 Harmonically Forced Vibrations, No Damping . . . . . . . .
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1.3.6 Harmonically Forced Vibrations, Damping Included . . . .
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1.3.7 General Periodic Forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.8 Arbitrary Forcing, Transients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Continuous Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1 Equations of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.2 Undamped Free Vibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.3 Orthogonality of Modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.4 Normal Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.5 Forced Vibrations, No Damping . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.6 Forced Vibrations, Damping Included . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.7 Complex-Valued Eigenvalues and Mode Shapes . . . . . . 18
1.4.8 Rayleigh’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.9 Ritz Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 Energy Methods for Setting up Equations of Motion . . . . . . . . . 20
1.5.1 Lagrange’s Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.2 Hamilton’s Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
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