7.5.8 Smoothening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
7.5.9 Effects of Multiple HF Excitation Frequencies . . . . . . . . 425
7.5.10 Effects of Strong Damping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
7.6 A General Class of Linear Continuous Systems . . . . . . . . . . . . . 426
7.6.1 The Generalized No-Resonance Prediction (GNRP) . . . . 427
7.6.2 The Generalized Analytical Resonance Prediction
(GARP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
7.6.3 Example 1: Clamped String with HF Base Excitation . . . 432
7.6.4 Example 2: Square Membrane with In-Plane HF
Excitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
7.7 Specific Systems and Results – Some Examples . . . . . . . . . . . . . 435
7.7.1 Using HF Excitation to Quench Friction-Induced
Vibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
7.7.2 Displacement Due to HF Excitation and Asymmetric
Friction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
7.7.3 Chelomei’s Pendulum – Resolving a Paradox . . . . . . . . 438
7.7.4 Stiffening of a Flexible String . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
7.8 Summing Up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
7.9 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
Appendix A: Performing Numerical Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
Appendix B: Major Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
Appendix C: Mathematical Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
Appendix D: Natural Frequencies and Mode Shapes for Structural
Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
Appendix E: Properties of Engineering Materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
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7.5.9 Effects of Multiple HF Excitation Frequencies . . . . . . . . 425
7.5.10 Effects of Strong Damping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
7.6 A General Class of Linear Continuous Systems . . . . . . . . . . . . . 426
7.6.1 The Generalized No-Resonance Prediction (GNRP) . . . . 427
7.6.2 The Generalized Analytical Resonance Prediction
(GARP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
7.6.3 Example 1: Clamped String with HF Base Excitation . . . 432
7.6.4 Example 2: Square Membrane with In-Plane HF
Excitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
7.7 Specific Systems and Results – Some Examples . . . . . . . . . . . . . 435
7.7.1 Using HF Excitation to Quench Friction-Induced
Vibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
7.7.2 Displacement Due to HF Excitation and Asymmetric
Friction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
7.7.3 Chelomei’s Pendulum – Resolving a Paradox . . . . . . . . 438
7.7.4 Stiffening of a Flexible String . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
7.8 Summing Up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
7.9 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
Appendix A: Performing Numerical Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
Appendix B: Major Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
Appendix C: Mathematical Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
Appendix D: Natural Frequencies and Mode Shapes for Structural
Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
Appendix E: Properties of Engineering Materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499
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