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(
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ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
1 À ξ
2
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ð
Þ
!
: ð3:116Þ
Notice that the first and third terms in the second last equality cancelled each
other. Thus, (3.115) certainly holds with (n + 1). Similarly, we have [3]
M
À
ð Þ
h
i n
Y
m
j θ, ϕ
ð
Þ ¼ e
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1 À ξ
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q
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m
j θ, ϕ
ð
Þ
!
:
ð3:117Þ
Proof of (3.117) is left for readers.
From the second equation of (3.81) and (3.114) where m is replaced with Àj, we
have
M
À
ð Þ Y
Àj
j θ, ϕ
ð
Þ ¼ e
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1 À ξ
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q
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Þ
!
¼ 0: ð3:118Þ
This implies that
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
1 À ξ
2
p
Àj Y
Àj
j θ, ϕ
ð
Þ is a constant with respect to ξ. We
describe this as
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
1 À ξ
2
q
Àj
Y
Àj
j θ, ϕ
ð
Þ ¼ c c : constant with respect to ξ
ð
Þ :
ð3:119Þ
Meanwhile, putting m ¼ À j and n ¼ 2j + 1 in (3.115) and taking account of the
first equation of (3.77) and the first equation of (3.81), we get
M
þ
ð Þ
h
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Y
Àj
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Þ
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¼ 0: ð3:120Þ
This means that
3.5 Orbital Angular Momentum: Operator Approach
81
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have
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Þ is a constant with respect to ξ. We
describe this as
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
1 À ξ
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q
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Y
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j θ, ϕ
ð
Þ ¼ c c : constant with respect to ξ
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Þ :
ð3:119Þ
Meanwhile, putting m ¼ À j and n ¼ 2j + 1 in (3.115) and taking account of the
first equation of (3.77) and the first equation of (3.81), we get
M
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This means that
3.5 Orbital Angular Momentum: Operator Approach
81