∂
∂ξ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
1 À ξ
2
q
Àm
Y
m
j θ, ϕ
ð
Þ
!
¼ mξ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
1 À ξ
2
q
ÀmÀ2
Y
m
j θ, ϕ
ð
Þ
þ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
1 À ξ
2
q
Àm ∂Y
m
j θ, ϕ
ð
Þ
∂ξ
:
ð3:113Þ
Similarly, we get
M
À
ð Þ Y
m
j θ, ϕ
ð
Þ ¼ e
Àiϕ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
1 À ξ
2
q
∂
∂ξ
À
mξ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
1 À ξ
2
p
!
Y
m
j θ, ϕ
ð
Þ
¼ e
Àiϕ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
1 À ξ
2
q
Àmþ1 ∂
∂ξ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
1 À ξ
2
q
m
Y
m
j θ, ϕ
ð
Þ
!
: ð3:114Þ
Let us derive the relations where M
(+) or M
(À) is successively operated on
Y
m
j θ, ϕ
ð
Þ. In the case of M
(+) , using (3.109) we have
M
þ
ð Þ
h
i n
Y
m
j θ, ϕ
ð
Þ ¼ À1
ð Þ
n e
inϕ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
1 À ξ
2
q
mþn ∂
n
∂ξ
n
Â
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
1 À ξ
2
q
Àm
Y
m
j θ, ϕ
ð
Þ
!
:
ð3:115Þ
We confirm this relation by mathematical induction. We have (3.112) by
replacing n with 1 in (3.115). Namely, (3.115) holds when n ¼ 1. Next, suppose
that (3.115) holds with n. Then, using the first equation of (3.109) and noting (3.64),
we have
M
þ
ð Þ
h
i nþ1
Y
m
j θ, ϕ
ð
Þ ¼ M
þ
ð Þ
M
þ
ð Þ
h
i n
Y
m
j θ, ϕ
ð
Þ
n
o
¼ e
iϕ
À
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
1 À ξ
2
q
∂
∂ξ
þ i
ξ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
1 À ξ
2
p
∂
∂ϕ
!
 À1
ð Þ
n e
inϕ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
1 À ξ
2
q
mþn ∂
n
∂ξ
n
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
1 À ξ
2
q
Àm Y
m
j θ, ϕ
ð
Þ
!
¼ À1
ð Þ
n e
i nþ1
ð
Þϕ
À
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
1 À ξ
2
q
∂
∂ξ
À
ξ n þ m
ð
Þ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
1 À ξ
2
p
"
#
Â
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
1 À ξ
2
q
mþn ∂
n
∂ξ
n
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
1 À ξ
2
q
Àm Y
m
j θ, ϕ
ð
Þ
!
80
3 Hydrogen-Like Atoms