R 3 À λE
j
j¼ 0:
ð17:112Þ
Using (17.107) we have
R 3 À λE
j
j
¼
cos
2
α cos
2
β þ sin
2 α
À
Á
cos γ cos α sin α sin
2 β 1 À cos γ
ð
Þ cos α cos β sin β 1 À cos γ
ð
Þ
þ cos
2
α sin
2 β À λ
À cos β sin γ
þ sin α sin β sin γ
cos α sin α sin
2 β 1 À cos γ
ð
Þ
sin
2 α cos
2
β þ cos
2
α
À
Á
cos γ sin α cos β sin β 1 À cos γ
ð
Þ
þ cos β sin γ
þ sin
2 α sin
2 β À λ
À cos α sin β sin γ
cos α cos β sin β 1 À cos γ
ð
Þ
sin α cos β sin β 1 À cos γ
ð
Þ
sin
2 β cos γ
À sin α sin β sin γ
þ cos α sin β sin γ
þ cos
2
β À λ
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
:
ð17:113Þ
When λ ¼ 1, we must have the direction cosines of the rotation axis as an
eigenvector. That is, we get
cos
2
β cos
2
α þ sin
2 α
À
Á
cos γ sin
2 β cos α sin α 1 À cos γ
ð
Þ cos β sin β cos α 1 À cos γ
ð
Þ
þ sin
2 β cos
2
α À 1
À cos β sin γ
þ sin β sin α sin γ
sin
2 β cos α sin α 1 À cos γ
ð
Þ
cos
2
β sin
2 α þ cos
2
α
À
Á
cos γ sin α cos β sin β 1 À cos γ
ð
Þ
þ cos β sin γ
þ sin
2 α sin
2 β À 1
À cos α sin β sin γ
cos α cos β sin β 1 À cos γ
ð
Þ
sin α cos β sin β 1 À cos γ
ð
Þ
sin
2 β cos γ
À sin α sin β sin γ
þ cos α sin β sin γ
þ cos
2
β À 1
0
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
ð17:114Þ
Â
cos α sin β
sin α sin β
cos β
0
B
@
1
C
A ¼
0
0
0
0
B
@
1
C
A:
The above matrix calculations certainly verify that (17.114) holds; readers, check it.
As an application of (17.107) to an illustrative example, let us consider a 2π/3
rotation around an axis trisecting a solid angle π/2 formed by the x-, y-, and z-axes
(see Fig. 17.19 and Sect. 17.3). Then we have
cos α ¼ sin α ¼ 1=
ffiffi ffi
2
p
, cos β ¼ 1=
ffiffi ffi
3
p
, sin β ¼ 2=
ffiffi ffi
3
p
,
cos γ ¼ À1=2, sin γ ¼
ffiffi ffi
3
p =2:
ð17:115Þ
Substituting (17.115) for (17.107), we get
676
17 Symmetry Groups