a
{
¼
0
0
0
0
0 Á Á Á
1
0
0
0
0 Á Á Á
0
ffiffi ffi
2
p
0
0
0 Á Á Á
0
0
ffiffi ffi
3
p
0
0 Á Á Á
0
0
0
2
0 Á Á Á
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱
0
B
B
B
B
B
B
B
B
@
1
C
C
C
C
C
C
C
C
A
:
ð2:66Þ
Note that neither a nor a
{ is Hermitian.
Since a determinant of the matrix of (2.19) is Ài/ħ 6 ¼ 0, using its inverse matrix we
get
q
p
¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
ħ
2mω
r
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
ħ
2mω
r
1
i
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
mħω
2
r
À
1
i
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
mħω
2
r
0
B
B
B
@
1
C
C
C
A
a
a
{
:
ð2:67Þ
That is, we have
q ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
ħ
2mω
r
a þ a
{
À
Á
and p ¼
1
i
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
mħω
2
r
a À a
{
À
Á
:
ð2:68Þ
With the inverse matrix, we will deal with it in Part III. Note that q and p are both
Hermitian. Inserting (2.65) and (2.66) into (2.68), we get
q ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
ħ
2mω
r
0
1
0
0
0 Á Á Á
1
0
ffiffi ffi
2
p
0
0 Á Á Á
0
ffiffi ffi
2
p
0
ffiffi ffi
3
p
0 Á Á Á
0
0
ffiffi ffi
3
p
0
2 Á Á Á
0
0
0
2
0 Á Á Á
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱
0
B
B
B
B
B
B
B
B
@
1
C
C
C
C
C
C
C
C
A
,
ð2:69Þ
p ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
mħω
2
r
i
0 À1
0
0
0 Á Á Á
1
0 À
ffiffi ffi
2
p
0
0 Á Á Á
0
ffiffi ffi
2
p
0
À
ffiffi ffi
3
p
0 Á Á Á
0
0
ffiffi ffi
3
p
0
À2 Á Á Á
0
0
0
2
0 Á Á Á
⋮ ⋮
⋮
⋮
⋮ ⋱
0
B
B
B
B
B
B
B
B
@
1
C
C
C
C
C
C
C
C
A
:
ð2:70Þ
42
2 Quantum-Mechanical Harmonic Oscillator