a a
{
À Á n ¼ n a
{
À Á nÀ1 þ a
{
À Á n a:
ð2:40Þ
Thus, we get
a ψ n i ¼ c n a a
{
À Á n
ψ 0 i ¼ c n n a
{
À Á nÀ1 þ a
{
À Á n a
h
i
ψ 0 i ¼ c n n a
{
À Á nÀ1
ψ 0 i
¼ n
c n
c nÀ1
c nÀ1 a
{
À Á nÀ1 ψ 0
j i ¼ n
c n
c nÀ1
ψ nÀ1
j
i,
ð2:41Þ
where the third equality comes from (2.28).
Next, operating a on (2.40) we get
a
2 a
{
À Á n ¼ na a
{
À Á nÀ1 þ a a
{
À Á n a
¼ n n À 1
ð
Þ a
{
À Á nÀ2 þ a
{
À Á nÀ1 a
h
i
þ a a
{
À Á n a
¼ n n À 1
ð
Þ a
{
À Á nÀ2 þ n a
{
À Á nÀ1 a þ a a
{
À Á n a
ð2:42Þ
Operating another a on (2.42), we get
a
3 a
{
À Á n ¼ n n À 1
ð
Þa a
{
À Á nÀ2 þ na a
{
À Á nÀ1 a þ a
2 a
{
À Á n a
¼ n n À 1
ð
Þ n À 2
ð
Þ a
{
À Á nÀ3 þ a
{
À Á nÀ2 a
h
i
þ na a
{
À Á nÀ1 a þ a
2 a
{
À Á n a
¼ n n À 1
ð
Þ n À 2
ð
Þ a
{
À Á nÀ3 þ n n À 1
ð
Þ a
{
À Á nÀ2 a þ na a
{
À Á nÀ1 a þ a
2 a
{
À Á n a
¼ Á Á Á:
ð2:43Þ
To generalize the above procedures, operating a on (2.40) m ( a
m a
{
À Á n ¼ n n À 1
ð
Þ n À 2
ð
ÞÁÁÁ n À m þ 1
ð
Þa
{
À Á nÀm þ f a, a
{
À
Á
a,
ð2:44Þ
where m < n and f(a, a
{ ) is a polynomial of a
{ that has a power of a as a coefficient.
Further operating hψ 0 | and jψ 0 i from the left and right on both sides of (2.44),
respectively, we have
ψ 0 a
m a
{
À Á n
ψ 0
D
E
¼ n n À 1
ð
Þ n À 2
ð
ÞÁÁÁ n À m þ 1
ð
Þ ψ 0 a
{
À Á nÀm
ψ 0
D
E
þ ψ 0 f a, a
{
À
Á
a
ψ 0
¼ n n À 1
ð
Þ n À 2
ð
ÞÁÁÁ n À m þ 1
ð
Þ ψ 0 a
{
À Á nÀm
ψ 0
D
E
ð2:45Þ
Note that in (2.45) hψ 0 | f(a, a
{ )a| ψ 0 i vanishes because of (2.28).
Meanwhile, taking adjoint of (2.28), we have
38
2 Quantum-Mechanical Harmonic Oscillator