Table 10.2
Classical polynomials and their related SOLDEs
Name of the polynomial
SOLDE form
Weight function: w(x)
Domain
Hermite: H
n (x)
d
2
dx 2 H
n x
ð Þ À 2x
d
dx H
n x
ð Þ þ 2nH
n x
ð Þ ¼ 0
e
Àx
2
(À1, +1)
Laguerre: L
ν
n x
ð Þ
x
d
2
dx 2 L
ν
n x
ð Þ þ
ν þ 1
À x
ð
Þ
d
dx L
ν
n x
ð Þ þ nL
ν
n x
ð Þ ¼ 0
x
ν
e
Àx
(ν
> À 1)
[0, +1)
Gegenbauer: C
λ
n x
ð Þ
1
À x
2
ð
Þ
d
2
dx 2 C
λ
n x
ð Þ À 2λ
þ 1
ð
Þ x
d
dx C
λ
n x
ð Þ þ n n
þ 2λ
ð
Þ C
λ
n x
ð Þ ¼ 0
1
À x
2
ð
Þ
λÀ
1
2
λ > À
1
2
À
Á
[À1, +1]
Legendre: P
n (x)
1
À x
2
ð
Þ
d
2
dx 2 P
n x
ð Þ À 2x
d
dx P
n x
ð Þ þ n n
þ 1
ð
ÞP
n x
ð Þ ¼ 0
1
[
À1, +1]
428
10 Introductory Green’s Functions