u 0
ð Þ ¼ σ 1 and
du
dx
x¼0
¼ σ 2 ,
ð10:182Þ
for (10.181) along with other appropriate values, we should be able to get a unique
solution as
u y
ð Þ ¼
Z y
0
dxG y, x
ð Þd x
ð Þ
þ σ 2 a 0
ð Þ À σ 1
da 0
ð Þ
dx
þ σ 1 b 0
ð Þ
!
G y, 0
ð ÞÀσ 1 a 0
ð Þ
∂G y, x
ð Þ
∂x
x¼0
: ð10:183Þ
Exchanging arguments x and y, we get
u x
ð Þ ¼
Z x
0
dyG x, y
ð Þd y
ð Þ
þ σ 2 a 0
ð Þ À σ 1
da 0
ð Þ
dy
þ σ 1 b 0
ð Þ
!
G x, 0
ð ÞÀσ 1 a 0
ð Þ
∂G x, y
ð Þ
∂y
y¼0
: ð10:184Þ
Here, we consider that Θ(x, y) ¼ 1 in this region and use (10.174). Meanwhile, from
(10.174), we have
∂G x, y
ð Þ
∂y
¼
∂F x, y
ð Þ
∂y
Θ x, y
ð Þþ
∂Θ x, y
ð Þ
∂y
F x, y
ð Þ:
ð10:185Þ
In the second term,
∂Θ x, y
ð Þ
∂y
¼
∂θ x À y
ð
Þ
∂y
θ y
ð Þ þ θ x À y
ð
Þ
∂θ y
ð Þ
∂y
À
∂θ y À x
ð
Þ
∂y
θ Ày
ð Þ
À θ y À x
ð
Þ
∂θ Ày
ð Þ
∂y
¼ Àδ x À y
ð
Þθ y
ð Þ þ θ x À y
ð
Þδ y
ð Þ À δ y À x
ð
Þθ Ày
ð Þ
þ θ y À x
ð
Þδ Ày
ð Þ
¼ Àδ x À y
ð
Þθ y
ð Þ þ θ Ày
ð Þ
½
Š þθ x À y
ð
Þþθ y À x
ð
Þ
½
Š δ y
ð Þ
¼ Àδ x À y
ð
Þθ y
ð Þ þ θ Ày
ð Þ
½
Š þθ x
ð Þ þ θ Àx
ð Þ
½
Š δ y
ð Þ
¼ Àδ x À y
ð
Þþδ y
ð Þ,
ð10:186Þ
where we used
θ x
ð Þ þ θ Àx
ð Þ 1
ð10:187Þ
as well as
416
10 Introductory Green’s Functions