To meet this requirement, we have
b > 0:
ð8:106Þ
Meanwhile, we have
cos
2
ϕ ¼ 1 À sin
2
ϕ ¼ 1 À
sin
2
θ
n 2 ¼
n
2
À sin
2
θ
n 2
,
ð8:107Þ
where notice that n < 1, because we are dealing with the incidence of light from a
medium with a higher refractive index to a low index medium. When we consider
the total reflection, the numerator of (8.107) is negative, and so we have two choices
such that
cos ϕ ¼ Æi
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
sin
2
θ À n 2
p
n
:
ð8:108Þ
From (8.103) and (8.106), we get
cos ϕ ¼ i
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
sin
2
θ À n 2
p
n
:
ð8:109Þ
Hence, inserting (8.109) into (8.84) we have for the TE wave
R
⊥
E ¼
cos θ À i
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
sin
2
θ À n 2
p
cos θ þ i
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
sin
2
θ À n 2
p
:
ð8:110Þ
Then, we have
R
⊥
¼ ÀR
⊥
E R
⊥
H
À Á Ã ¼ R
⊥
E R
⊥
E
À Á Ã
¼
cos θ À i
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
sin
2
θ À n 2
p
cos θ þ i
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
sin
2
θ À n 2
p
Á
cos θ þ i
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
sin
2
θ À n 2
p
cos θ À i
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
sin
2
θ À n 2
p
¼ 1:
ð8:111Þ
As for the TM wave, substituting (8.109) for (8.85) we have
R
k
E ¼
Àn
2 cos θ þ i
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
sin
2
θ À n 2
p
n 2 cos θ þ i
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
sin
2
θ À n 2
p
:
ð8:112Þ
In this case, we also get
316
8 Reflection and Transmission of Electromagnetic Waves in Dielectric Media