f z þ Δz
ð
ÞÀf z
ð Þ
Δz
¼
u x þ Δx, y þ Δy
ð
Þ À u x, y
ð Þ
Δz
þ
i v x þ Δx, y þ Δy
ð
Þ À v x, y
ð Þ
½
Š
Δz
¼
Δx
Δz
∂u x, y
ð Þ
∂x
þ i
∂v x, y
ð Þ
∂x
!
þ
Δy
Δz
∂u x, y
ð Þ
∂y
þ i
∂v x, y
ð Þ
∂y
!
þ
Δx
Δz
ε 1 þ iε 2
ð
Þþ
Δy
Δz
δ 1 þ iδ 2
ð
Þ
¼
Δx
Δz
∂u x, y
ð Þ
∂x
þ i
∂v x, y
ð Þ
∂x
!
þ
Δy
Δz
À
∂v x, y
ð Þ
∂x
þ i
∂u x, y
ð Þ
∂x
!
þ
Δx
Δz
ε 1 þ iε 2
ð
Þþ
Δy
Δz
δ 1 þ iδ 2
ð
Þ
¼
Δx þ iΔy
Δz
Á
∂u x, y
ð Þ
∂x
þ
Δx þ iΔy
ð
Þ
Δz
Á i
∂v x, y
ð Þ
∂x
þ
Δx
Δz
ε 1 þ iε 2
ð
Þþ
Δy
Δz
δ 1 þ iδ 2
ð
Þ
¼
∂u x, y
ð Þ
∂x
þ i
∂v x, y
ð Þ
∂x
þ
Δx
Δz
ε 1 þ iε 2
ð
Þþ
Δy
Δz
δ 1 þ iδ 2
ð
Þ ,
ð6:66Þ
where with the third equality we used the CauchyÀRiemann conditions (6.52) and
(6.53). Accordingly, we have
f z þ Δz
ð
ÞÀf z
ð Þ
Δz
À
∂u x, y
ð Þ
∂x
þ i
∂v x, y
ð Þ
∂x
!
¼
Δx
Δz
ε 1 þ iε 2
ð
Þþ
Δy
Δz
δ 1 þ iδ 2
ð
Þ :
ð6:67Þ
Taking the absolute values of both sides of (6.67), we get
f z þ Δz
ð
ÞÀf z
ð Þ
Δz
À
∂u x, y
ð Þ
∂x
þ i
∂v x, y
ð Þ
∂x
!
Δx
Δz
ε 1 þ iε 2
ð
Þ
þ
Δy
Δz
δ 1 þ iδ 2
ð
Þ
,
ð6:68Þ
where
Δx
Δz
¼
j Δx j
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
Δx
ð Þ
2 þ Δy
ð Þ
2
q
1 and
Δy
Δz
¼
Δy
j j
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
Δx
ð Þ
2 þ Δy
ð Þ
2
q
1: Taking the limit of Δz ! 0,
by assumption both the terms of RHS of (6.68) approach zero. Thus,
6.2 Analytic Functions of a Complex Variable
205