Part IV Group Theory and Its Chemical Applications
16 Introductory Group Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621
16.1 Definition of Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621
16.2 Subgroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624
16.3 Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625
16.4 Isomorphism and Homomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627
16.5 Direct-Product Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631
Reference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633
17 Symmetry Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635
17.1 A Variety of Symmetry Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635
17.2 Successive Symmetry Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643
17.3 O and T d Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654
17.4 Special Orthogonal Group SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663
17.4.1 Rotation Axis and Rotation Matrix . . . . . . . . . . . . . . . 664
17.4.2 Euler Angles and Related Topics . . . . . . . . . . . . . . . . . 669
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678
18 Representation Theory of Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679
18.1 Definition of Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679
18.2 Basis Functions of Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683
18.3 Schur’s Lemmas and Grand Orthogonality Theorem (GOT) . . . . 692
18.4 Characters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697
18.5 Regular Representation and Group Algebra . . . . . . . . . . . . . . . 700
18.6 Classes and Irreducible Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707
18.7 Projection Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710
18.8 Direct-Product Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720
18.9 Symmetric Representation and Antisymmetric
Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727
19 Applications of Group Theory to Physical Chemistry . . . . . . . . . . . 729
19.1 Transformation of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 729
19.2 Method of Molecular Orbitals (MOs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734
19.3 Calculation Procedures of Molecular Orbitals (MOs) . . . . . . . . . 742
19.4 MO Calculations Based on π-Electron Approximation . . . . . . . . 747
19.4.1 Ethylene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747
19.4.2 Cyclopropenyl Radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757
19.4.3 Benzene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764
19.4.4 Allyl Radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 770
19.5 MO Calculations of Methane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798
20 Theory of Continuous Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 799
20.1 Introduction: Operators of Rotation and Infinitesimal
Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 799
Contents
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16 Introductory Group Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621
16.1 Definition of Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621
16.2 Subgroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624
16.3 Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625
16.4 Isomorphism and Homomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627
16.5 Direct-Product Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631
Reference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633
17 Symmetry Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635
17.1 A Variety of Symmetry Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635
17.2 Successive Symmetry Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643
17.3 O and T d Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654
17.4 Special Orthogonal Group SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663
17.4.1 Rotation Axis and Rotation Matrix . . . . . . . . . . . . . . . 664
17.4.2 Euler Angles and Related Topics . . . . . . . . . . . . . . . . . 669
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678
18 Representation Theory of Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679
18.1 Definition of Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679
18.2 Basis Functions of Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683
18.3 Schur’s Lemmas and Grand Orthogonality Theorem (GOT) . . . . 692
18.4 Characters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697
18.5 Regular Representation and Group Algebra . . . . . . . . . . . . . . . 700
18.6 Classes and Irreducible Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707
18.7 Projection Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710
18.8 Direct-Product Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720
18.9 Symmetric Representation and Antisymmetric
Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727
19 Applications of Group Theory to Physical Chemistry . . . . . . . . . . . 729
19.1 Transformation of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 729
19.2 Method of Molecular Orbitals (MOs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734
19.3 Calculation Procedures of Molecular Orbitals (MOs) . . . . . . . . . 742
19.4 MO Calculations Based on π-Electron Approximation . . . . . . . . 747
19.4.1 Ethylene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747
19.4.2 Cyclopropenyl Radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757
19.4.3 Benzene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764
19.4.4 Allyl Radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 770
19.5 MO Calculations of Methane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798
20 Theory of Continuous Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 799
20.1 Introduction: Operators of Rotation and Infinitesimal
Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 799
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