11.4 Basis Vectors and Their Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
Reference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
12 Canonical Forms of Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
12.1 Eigenvalues and Eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
12.2 Eigenspaces and Invariant Subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
12.3 Generalized Eigenvectors and Nilpotent Matrices . . . . . . . . . . . 473
12.4 Idempotent Matrices and Generalized Eigenspaces . . . . . . . . . . 478
12.5 Decomposition of Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
12.6 Jordan Canonical Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
12.6.1 Canonical Form of Nilpotent Matrix . . . . . . . . . . . . . . 488
12.6.2 Jordan Blocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
12.6.3 Example of Jordan Canonical Form . . . . . . . . . . . . . . . 501
12.7 Diagonalizable Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
13 Inner Product Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523
13.1 Inner Product and Metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523
13.2 Gram Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
13.3 Adjoint Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
13.4 Orthonormal Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545
14 Hermitian Operators and Unitary Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . 547
14.1 Projection Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547
14.2 Normal Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554
14.3 Unitary Diagonalization of Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556
14.4 Hermitian Matrices and Unitary Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 564
14.5 Hermitian Quadratic Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568
14.6 Simultaneous Eigenstates and Diagonalization . . . . . . . . . . . . . 574
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580
15 Exponential Functions of Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581
15.1 Functions of Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581
15.2 Exponential Functions of Matrices and Their
Manipulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585
15.3 System of Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592
15.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592
15.3.2 System of Differential Equations in a Matrix
Form: Resolvent Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595
15.3.3 Several Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600
15.4 Motion of a Charged Particle in Polarized Electromagnetic Wave 611
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617
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Contents