20.2 Rotation Groups: SU(2) and SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806
20.2.1 Construction of SU(2) Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808
20.2.2 SU(2) Representation Matrices: Wigner Formula . . . . . 812
20.2.3 SO(3) Representation Matrices and Spherical
Surface Harmonics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814
20.2.4 Irreducible Representations of SU(2) and SO(3) . . . . . . 823
20.2.5 Parameter Space of SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 831
20.2.6 Irreducible Characters of SO(3) and Their Orthogonality 837
20.3 ClebschÀGordan Coefficients of Rotation Groups . . . . . . . . . . . 843
20.3.1 Direct-Product of SU(2) and ClebschÀGordan
Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843
20.3.2 Calculation Procedures of ClebschÀGordan Coefficients 849
20.3.3 Examples of Calculation of ClebschÀGordan
Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858
20.4 Lie Groups and Lie Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864
20.4.1 Definition of Lie Groups and Lie Algebras:
One-Parameter Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865
20.4.2 Properties of Lie Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868
20.4.3 Adjoint Representation of Lie Groups . . . . . . . . . . . . . 874
20.5 Connectedness of Lie Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885
20.5.1 Several Definitions and Examples . . . . . . . . . . . . . . . . 885
20.5.2 O(3) and SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888
20.5.3 Simply Connected Lie Groups: Local Properties
and Global Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 890
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899
xviii
Contents