e b l Φ
n
ð Þ
l
ρ
ð Þ
¼
2
n
lþ
3
2
nl
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
n þ l
ð
Þ n À l
ð
Þ
p
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
1
2n n þ l
ð
Þ! n À l À 1
ð
Þ !
r
d
dρ
þ
l
ρ
À
1
l
!
 e
ρ
n ρ
Àl d
nÀlÀ1
dρ nÀlÀ1 ρ
nþl e
À
2ρ
n
!
¼
2
n
lþ
3
2
nl
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
n þ l
ð
Þ n À l
ð
Þ
p
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
1
2n n þ l
ð
Þ! n À l À 1
ð
Þ !
r
d
dρ
þ
l
ρ
À
1
l
!
Âe
À
ρ
n
X nÀlÀ1
m¼0
À1
ð Þ
m n þ l
ð
Þ!
2l þ m þ 1
ð
Þ !
ρ
lþmþ1 2
n
m
n À l À 1
ð
Þ !
m! n À l À m À 1
ð
Þ !
,
ð3:288Þ
where we used well-known Leibniz rule of higher order differentiation of a product
function, i.e.,
d
nÀlÀ1
dρ nÀlÀ1 ρ
nþl e
À2ρ=n
À
Á
. To perform further calculation, notice that
d
dρ does
not change a functional form of e
Àρ/n , whereas it lowers the order of ρ
l + m + 1 by one.
Meanwhile, operation of
l
ρ lowers the order of ρ
l + m + 1 by one as well. The factor
nþl
2l
in the following equation (3.289) results from these calculation processes. Considering these characteristics of the operator, we get
e b l Φ
n
ð Þ
l
ρ
ð Þ
¼
2
n
lþ
3
2 n þ l
2l
nl
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
n þ l
ð
Þ n À l
ð
Þ
p
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
1
2n n þ l
ð
Þ! n À l À 1
ð
Þ !
r
e
Àρ=n
ρ
l
Â
( X nÀlÀ1
m¼0
À1
ð Þ
mþ1 n þ l
ð
Þ!
2l þ m þ 1
ð
Þ !
n À l À 1
ð
Þ !
m! n À l À m À 1
ð
Þ !
ρ
mþ1 2
n
mþ1
þ2l
X nÀlÀ1
m¼0
À1
ð Þ
m n þ l À 1
ð
Þ !
2l þ m
ð
Þ!
n À l À 1
ð
Þ !
m! n À l À m À 1
ð
Þ !
ρ
m 2
n
m
)
:
ð3:289Þ
In (3.289), calculation of the part {Á Á Á} next to the multiplication sign for RHS is
somewhat complicated, and so we describe the outline of the calculation procedure
below.
{Á Á Á} of RHS of (3.289)
¼
X nÀl
m¼1
À1
ð Þ
m n þ l
ð
Þ!
2l þ m
ð
Þ!
n À l À 1
ð
Þ !
m À 1
ð
Þ! n À l À m
ð
Þ !
ρ
m 2
n
m
þ2l
X nÀlÀ1
m¼0
À1
ð Þ
m n þ l À 1
ð
Þ !
2l þ m
ð
Þ!
n À l À 1
ð
Þ !
m! n À l À m À 1
ð
Þ !
ρ
m 2
n
m
118
3 Hydrogen-Like Atoms
n
ð Þ
l
ρ
ð Þ
¼
2
n
lþ
3
2
nl
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
n þ l
ð
Þ n À l
ð
Þ
p
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
1
2n n þ l
ð
Þ! n À l À 1
ð
Þ !
r
d
dρ
þ
l
ρ
À
1
l
!
 e
ρ
n ρ
Àl d
nÀlÀ1
dρ nÀlÀ1 ρ
nþl e
À
2ρ
n
!
¼
2
n
lþ
3
2
nl
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
n þ l
ð
Þ n À l
ð
Þ
p
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
1
2n n þ l
ð
Þ! n À l À 1
ð
Þ !
r
d
dρ
þ
l
ρ
À
1
l
!
Âe
À
ρ
n
X nÀlÀ1
m¼0
À1
ð Þ
m n þ l
ð
Þ!
2l þ m þ 1
ð
Þ !
ρ
lþmþ1 2
n
m
n À l À 1
ð
Þ !
m! n À l À m À 1
ð
Þ !
,
ð3:288Þ
where we used well-known Leibniz rule of higher order differentiation of a product
function, i.e.,
d
nÀlÀ1
dρ nÀlÀ1 ρ
nþl e
À2ρ=n
À
Á
. To perform further calculation, notice that
d
dρ does
not change a functional form of e
Àρ/n , whereas it lowers the order of ρ
l + m + 1 by one.
Meanwhile, operation of
l
ρ lowers the order of ρ
l + m + 1 by one as well. The factor
nþl
2l
in the following equation (3.289) results from these calculation processes. Considering these characteristics of the operator, we get
e b l Φ
n
ð Þ
l
ρ
ð Þ
¼
2
n
lþ
3
2 n þ l
2l
nl
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
n þ l
ð
Þ n À l
ð
Þ
p
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
1
2n n þ l
ð
Þ! n À l À 1
ð
Þ !
r
e
Àρ=n
ρ
l
Â
( X nÀlÀ1
m¼0
À1
ð Þ
mþ1 n þ l
ð
Þ!
2l þ m þ 1
ð
Þ !
n À l À 1
ð
Þ !
m! n À l À m À 1
ð
Þ !
ρ
mþ1 2
n
mþ1
þ2l
X nÀlÀ1
m¼0
À1
ð Þ
m n þ l À 1
ð
Þ !
2l þ m
ð
Þ!
n À l À 1
ð
Þ !
m! n À l À m À 1
ð
Þ !
ρ
m 2
n
m
)
:
ð3:289Þ
In (3.289), calculation of the part {Á Á Á} next to the multiplication sign for RHS is
somewhat complicated, and so we describe the outline of the calculation procedure
below.
{Á Á Á} of RHS of (3.289)
¼
X nÀl
m¼1
À1
ð Þ
m n þ l
ð
Þ!
2l þ m
ð
Þ!
n À l À 1
ð
Þ !
m À 1
ð
Þ! n À l À m
ð
Þ !
ρ
m 2
n
m
þ2l
X nÀlÀ1
m¼0
À1
ð Þ
m n þ l À 1
ð
Þ !
2l þ m
ð
Þ!
n À l À 1
ð
Þ !
m! n À l À m À 1
ð
Þ !
ρ
m 2
n
m
118
3 Hydrogen-Like Atoms