¼
X nÀlÀ1
m¼1
À1
ð Þ
m 2ρ
n
À Á m n À l À 1
ð
Þ ! n þ l À 1
ð
Þ !
2l þ m
ð
Þ!
Â
n þ l
m À 1
ð
Þ! n À l À m
ð
Þ !
þ
2l
m! n À l À m À 1
ð
Þ !
!
þ À1
ð Þ
nÀl 2ρ
n
nÀl
þ
n þ l À 1
ð
Þ !
2l À 1
ð
Þ!
¼
X nÀlÀ1
m¼1
À1
ð Þ
m 2ρ
n
À Á m n À l À 1
ð
Þ ! n þ l À 1
ð
Þ !
2l þ m
ð
Þ!
Á
m À 1
ð
Þ! n À l À m À 1
ð
Þ ! 2l þ m
ð
Þ n À l
ð
Þ
m À 1
ð
Þ! n À l À m
ð
Þ !m! n À l À m À 1
ð
Þ !
þ À1
ð Þ
nÀl 2ρ
n
nÀl
þ
n þ l À 1
ð
Þ !
2l À 1
ð
Þ!
¼
X nÀlÀ1
m¼1
À1
ð Þ
m 2ρ
n
À Á m n À l
ð
Þ! n þ l À 1
ð
Þ !
2l þ m À 1
ð
Þ ! n À l À m
ð
Þ !m!
þ À1
ð Þ
nÀl 2ρ
n
nÀl
þ
n þ l À 1
ð
Þ !
2l À 1
ð
Þ!
¼ n À l
ð
Þ!
X nÀlÀ1
m¼1
À1
ð Þ
m 2ρ
n
À Á m n þ l À 1
ð
Þ !
2l þ m À 1
ð
Þ ! n À l À m
ð
Þ !m!
þ À1
ð Þ
nÀl
1
n À l
ð
Þ!
2ρ
n
nÀl
"
þ
n þ l À 1
ð
Þ !
n À l
ð
Þ! 2l À 1
ð
Þ!
#
¼ n À l
ð
Þ!
X nÀl
m¼0
À1
ð Þ
m 2ρ
n
À Á m n þ l À 1
ð
Þ !
2l þ m À 1
ð
Þ ! n À l À m
ð
Þ !m!
¼ n À l
ð
Þ!L
2lÀ1
nÀl
2ρ
n
:
ð3:290Þ
Notice that with the second equality of (3.290), the summation is divided into
three terms; i.e., 1 m n À l À 1, m ¼ n À l (the highest-order term), and m ¼ 0
(the lowest- order term). Note that with the second last equality of (3.290), the
highest-order (n À l) term and the lowest-order term (i.e., a constant) have been
absorbed in a single equation, namely, an associated Laguerre polynomial. Correspondingly, with the second last equality of (3.290) the summation range is extended
to 0 m n À l.
Summarizing the above results, we get
3.7 Radial Wave Functions of Hydrogen-Like Atoms
119