Now, we return back to (3.149). From (3.206) we have
1 À x
2
À
Á À
m
2 d
lÀm
dx lÀm
Â
1 À x
2
Þ
l
À
à ¼
À1
ð Þ
lÀm 2
l l! l À m
ð
Þ!
l þ m
ð
Þ!
P
m
l x
ð Þ:
ð3:211Þ
Inserting (3.211) into (3.149) and changing the variable x to ξ, we have
Y
m
l θ, ϕ
ð
Þ ¼ À1
ð Þ
m
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
2l þ 1
ð
Þ l À m
ð
Þ!
4π l þ m
ð
Þ!
s
P
m
l ξ
ð Þe
imϕ
ξ ¼ cos θ; 0 θ π
ð
Þ : ð3:212Þ
The coefficient (À1)
m appearing (3.212) is well known as Condon–Shortley
phase [7]. Another important expression obtained from (3.210) and (3.212) is
Y
Àm
l
θ, ϕ
ð
Þ ¼ À1
ð Þ
m Y
m
l θ, ϕ
ð
Þ
Â
à à :
ð3:213Þ
Since (3.208) or (3.209) involves higher order differentiations, it would somewhat be inconvenient to find their functional forms. Here we try to seek the
convenient representation of spherical harmonics using familiar cosine and sine
functions. Starting with (3.206) and applying Leibniz rule there, we have
P
m
l x
ð Þ ¼
À1
ð Þ
lÀm l þ m
ð
Þ!
2
l l! l À m
ð
Þ!
1 þ x
ð
Þ
Àm=2 1 À x
ð
Þ
Àm=2
Â
X lÀm
r¼0
l À m
ð
Þ!
r! l À m À r
ð
Þ !
d
r
dx
r
Â
1 þ xÞ
l
À
à d
lÀmÀr
dx
lÀmÀr
Â
1 À xÞ
l
À
Ã
¼
À1
ð Þ
lÀm l þ m
ð
Þ!
2
l l! l À m
ð
Þ!
X lÀm
r¼0
l À m
ð
Þ!
r! l À m À r
ð
Þ !
l! 1 þ x
ð
Þ
lÀrÀ
m
2
l À r
ð
Þ!
À1
ð Þ
lÀmÀr l! 1 À x
ð
Þ
mþrÀ
m
2
m þ r
ð
Þ!
¼
l! l þ m
ð
Þ!
2
l
X lÀm
r¼0
À1
ð Þ
r
r! l À m À r
ð
Þ !
1 þ x
ð
Þ
lÀrÀ
m
2
l À r
ð
Þ!
1 À x
ð
Þ
rþ
m
2
m þ r
ð
Þ!
:
:
ð3:214Þ
Putting x ¼ cos θ in (3.214) and using a trigonometric formula, we have
P
m
l x
ð Þ ¼ l! l þ m
ð
Þ!
X lÀm
r¼0
À1
ð Þ
r
r! l À m À r
ð
Þ !
cos
2lÀ2rÀm θ
2
À Á
l À r
ð
Þ!
sin
2rþm θ
2
À Á
m þ r
ð
Þ!
: ð3:215Þ
Inserting this into (3.212), we get
3.6 Orbital Angular Momentum: Analytic Approach
101
1 À x
2
À
Á À
m
2 d
lÀm
dx lÀm
Â
1 À x
2
Þ
l
À
à ¼
À1
ð Þ
lÀm 2
l l! l À m
ð
Þ!
l þ m
ð
Þ!
P
m
l x
ð Þ:
ð3:211Þ
Inserting (3.211) into (3.149) and changing the variable x to ξ, we have
Y
m
l θ, ϕ
ð
Þ ¼ À1
ð Þ
m
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi
2l þ 1
ð
Þ l À m
ð
Þ!
4π l þ m
ð
Þ!
s
P
m
l ξ
ð Þe
imϕ
ξ ¼ cos θ; 0 θ π
ð
Þ : ð3:212Þ
The coefficient (À1)
m appearing (3.212) is well known as Condon–Shortley
phase [7]. Another important expression obtained from (3.210) and (3.212) is
Y
Àm
l
θ, ϕ
ð
Þ ¼ À1
ð Þ
m Y
m
l θ, ϕ
ð
Þ
Â
à à :
ð3:213Þ
Since (3.208) or (3.209) involves higher order differentiations, it would somewhat be inconvenient to find their functional forms. Here we try to seek the
convenient representation of spherical harmonics using familiar cosine and sine
functions. Starting with (3.206) and applying Leibniz rule there, we have
P
m
l x
ð Þ ¼
À1
ð Þ
lÀm l þ m
ð
Þ!
2
l l! l À m
ð
Þ!
1 þ x
ð
Þ
Àm=2 1 À x
ð
Þ
Àm=2
Â
X lÀm
r¼0
l À m
ð
Þ!
r! l À m À r
ð
Þ !
d
r
dx
r
Â
1 þ xÞ
l
À
à d
lÀmÀr
dx
lÀmÀr
Â
1 À xÞ
l
À
Ã
¼
À1
ð Þ
lÀm l þ m
ð
Þ!
2
l l! l À m
ð
Þ!
X lÀm
r¼0
l À m
ð
Þ!
r! l À m À r
ð
Þ !
l! 1 þ x
ð
Þ
lÀrÀ
m
2
l À r
ð
Þ!
À1
ð Þ
lÀmÀr l! 1 À x
ð
Þ
mþrÀ
m
2
m þ r
ð
Þ!
¼
l! l þ m
ð
Þ!
2
l
X lÀm
r¼0
À1
ð Þ
r
r! l À m À r
ð
Þ !
1 þ x
ð
Þ
lÀrÀ
m
2
l À r
ð
Þ!
1 À x
ð
Þ
rþ
m
2
m þ r
ð
Þ!
:
:
ð3:214Þ
Putting x ¼ cos θ in (3.214) and using a trigonometric formula, we have
P
m
l x
ð Þ ¼ l! l þ m
ð
Þ!
X lÀm
r¼0
À1
ð Þ
r
r! l À m À r
ð
Þ !
cos
2lÀ2rÀm θ
2
À Á
l À r
ð
Þ!
sin
2rþm θ
2
À Á
m þ r
ð
Þ!
: ð3:215Þ
Inserting this into (3.212), we get
3.6 Orbital Angular Momentum: Analytic Approach
101