C
mþ
1
2
lÀm x
ð Þ ¼
À1
ð Þ
lÀm Γ l þ m þ 1
ð
Þ Γ m þ 1
ð
Þ
2
lÀm l À m
ð
Þ!Γ l þ 1
ð
ÞΓ 2m þ 1
ð
Þ
1 À x
2
À
Á Àm d
lÀm
dx lÀm
 1 À x
2
À
Á l
h
i
:
ð3:204Þ
Inserting (3.204) into (3.202), we have
d
m P l x
ð Þ
dx
m
¼
À1
ð Þ
lÀm Γ l þ m þ 1
ð
Þ
2
l l À m
ð
Þ!Γ l þ 1
ð
Þ
1 À x
2
À
Á Àm d
lÀm
dx
lÀm
1 À x
2
Þ
l
À
Ã
Â
¼
À1
ð Þ
lÀm l þ m
ð
Þ!
2
l l! l À m
ð
Þ!
1 À x
2
À
Á Àm d
lÀm
dx
lÀm
1 À x
2
Þ
l
À
Ã
:
Â
ð3:205Þ
Further inserting this into (3.175), we finally get
P
m
l x
ð Þ ¼
À1
ð Þ
lÀm l þ m
ð
Þ!
2
l l! l À m
ð
Þ!
1 À x
2
À
Á Àm=2 d
lÀm
dx lÀm 1 À x
2
À
Á l
h
i
:
ð3:206Þ
When m ¼ 0, we have
P
0
l x
ð Þ ¼
À1
ð Þ
l
2
l l!
d
l
dx l 1 À x
2
Þ
l
À
à ¼ P l x
ð Þ:
Â
ð3:207Þ
Thus, we recover the functional form of Legendre polynomials. The expression
(3.206) is also meaningful for negative m, provided jm j
l, and permits an
extension of the definition of P
m
l x
ð Þ given by (3.175) to negative numbers of m [5].
Changing m to Àm in (3.206), we have
P
Àm
l
x
ð Þ ¼
À1
ð Þ
lþm l À m
ð
Þ!
2
l l! l þ m
ð
Þ!
1 À x
2
À
Á m=2 d
lþm
dx lþm 1 À x
2
À
Á l
h
i
:
ð3:208Þ
Meanwhile, from (3.168) and (3.175),
P
m
l x
ð Þ ¼
À1
ð Þ
l
2
l l!
1 À x
2
À
Á m=2 d
lþm
dx lþm 1 À x
2
À
Á l
h
i
0 m l
ð
Þ :
ð3:209Þ
Comparing (3.208) and (3.209), we get
P
Àm
l
x
ð Þ ¼
À1
ð Þ
m l À m
ð
Þ!
l þ m
ð
Þ!
P
m
l x
ð Þ Àl m l
ð
Þ :
ð3:210Þ
Thus, as expected earlier, P
m
l x
ð Þ and P
Àm
l
x
ð Þ are linearly dependent.
100
3 Hydrogen-Like Atoms