d
m P l x
ð Þ=dx
m
¼
X lÀm
ð
Þ=2
½
Š
k¼0
À1
ð Þ
k 2l À 2k
ð
Þ! l À 2k
ð
Þ l À 2k À 1
ð
Þ ÁÁÁl À 2k À m þ 1
ð
Þ
2
l k! l À k
ð
Þ! l À 2k
ð
Þ!
x
lÀ2kÀm
¼
X lÀm
ð
Þ=2
½
Š
k¼0
À1
ð Þ
k 2l À 2k
ð
Þ!
2
l k! l À k
ð
Þ! l À 2k À m
ð
Þ !
x
lÀ2kÀm
:
ð3:199Þ
Meanwhile, we have
C
mþ
1
2
lÀm x
ð Þ ¼
X lÀm
ð
Þ=2
½
Š
k¼0
À1
ð Þ
k 2
lÀ2kÀm
k! l À 2k À m
ð
Þ !
Γ l þ
1
2 À k
À
Á
Γ m þ
1
2
À
Á x
lÀ2kÀm
:
ð3:200Þ
Using (3.195) and (3.196), we have
Γ l þ
1
2 À k
À
Á
Γ m þ
1
2
À
Á ¼ 2
À2 lÀkÀm
ð
Þ 2l À 2k
ð
Þ !
l À k
ð
Þ!
m!
2m
ð Þ!
:
Therefore, we get
C
mþ
1
2
lÀm x
ð Þ ¼
X lÀm
ð
Þ=2
½
Š
k¼0
À1
ð Þ
k 2l À 2k
ð
Þ!
2
l k! l À k
ð
Þ! l À 2k À m
ð
Þ !
2
m
Γ m þ 1
ð
Þ
Γ 2m þ 1
ð
Þ
x
lÀ2kÀm , ð3:201Þ
where we used m! ¼ Γ(m + 1) and (2m)! ¼ Γ(2m + 1). Comparing (3.199) and
(3.201), we get
d
m P l x
ð Þ
dx
m
¼
Γ 2m þ 1
ð
Þ
2
m
Γ m þ 1
ð
Þ
C
mþ
1
2
lÀm x
ð Þ:
ð3:202Þ
Thus, we find that the constant appearing in (3.179) is
Γ 2mþ1
ð
Þ
2
m Γ mþ1
ð
Þ . Putting m ¼ 0 in
(3.202), we have P l x
ð Þ ¼ C
1=2
l
x
ð Þ. Therefore, (3.192) is certainly recovered. This
gives an easy checkup to (3.202).
Meanwhile, Rodrigues formula of Gegenbauer polynomials [5] is given by
C
λ
n x
ð Þ ¼
À1
ð Þ
n Γ n þ 2λ
ð
ÞΓ λ þ
1
2
À
Á
2
n n!Γ n þ λ þ
1
2
À
Á Γ 2λ
ð Þ
1 À x
2
À
Á Àλþ
1
2 d
n
dx n 1 À x
2
À
Á nþλÀ
1
2
h
i
: ð3:203Þ
Hence, we have
3.6 Orbital Angular Momentum: Analytic Approach
99