Y
m
l θ, ϕ
ð
Þ ¼
l!
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2l þ 1
ð
Þ l þ m
ð
Þ! l À m
ð
Þ!
4π
r
e
imϕ
X lÀm
r¼0
À1
ð Þ
rþm cos
2lÀ2rÀm θ
2
À Á
sin
2rþm θ
2
À Á
r! l À m À r
ð
Þ ! l À r
ð
Þ! m þ r
ð
Þ!
:
ð3:216Þ
Summation domain of r must be determined so that factorials of negative integers
can be avoided [6]. That is,
(i) If m ! 0, 0 r l À m; (l À m + 1) terms,
(ii) If m < 0, jm j
r l; (lÀjmj+1) terms.
For example, if we choose l for m, putting r ¼ 0 in (3.216) we have
Y
l
l θ, ϕ
ð
Þ ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2l þ 1
ð
Þ!
4π
r
e
ilϕ À1
ð Þ
l cos
l θ
2
À Á
sin
l θ
2
À Á
l!
¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2l þ 1
ð
Þ!
4π
r
e
ilϕ À1
ð Þ
l sin
l
θ
2
l l!
:
ð3:217Þ
In particular, we have Y
0
0 θ, ϕ
ð
Þ ¼
ffiffiffiffi
1
4π
q
to recover (3.150). When m ¼ À l, putting
r ¼ l in (3.216) we get
Y
Àl
l θ, ϕ
ð
Þ ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2l þ 1
ð
Þ!
4π
r
e
Àilϕ cos
l θ
2
À Á
sin
l θ
2
À Á
l!
¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2l þ 1
ð
Þ!
4π
r
e
Àilϕ sin
l
θ
2
l l!
: ð3:218Þ
For instance, choosing l ¼ 3 and m ¼ Æ 3 and using (3.217) or (3.218), we have
Y
3
3 θ, ϕ
ð
Þ ¼ À
ffiffiffiffiffiffiffi ffi
35
64π
r
e
i3ϕ sin
3
θ, Y
À3
3 θ, ϕ
ð
Þ ¼
ffiffiffiffiffiffiffi ffi
35
64π
r
e
Ài3ϕ sin
3
θ:
For the minus sign appearing in Y
3
3 θ, ϕ
ð
Þ is due to the Condon–Shortley phase.
For l ¼ 3 and m ¼ 0, moreover, we have
102
3 Hydrogen-Like Atoms