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CHAP. 4 – POTENTIEL CHIMIQUE D’UN CONSTITUANT D’UN MÉLANGE
b) Théorème d’EULER
Étudions la variation infinitésimale d f de la fonction f lorsque le paramètre λ varie
de dλ :
d f (λ x i , x j ) =
i = n
∑
i = 1
∂ f
∂ (λ x i )
.
∂ (λ x i )
∂ λ
.dλ =
i = n
∑
i = 1
∂ f
∂ (λ x i )
.x i
.dλ .
D’autre part, en utilisant le fait que la fonction f est homogène de degré p des variables x i (i de 1 à n), nous avons une autre expression de d f :
d f (λ x i , x j ) = d(λ
p
. f (x k )) = pλ
(p − 1)
( f (x k )).dλ .
En identifiant les deux expressions de d f (λ x i , x j ) et en simplifiant par l’élément différentiel dλ , nous obtenons le résultat essentiel qui constitue le théorème d’EULER :
i = n
∑
i = 1
∂ f
∂ (λ x i )
.x i
= pλ
(p − 1)
( f (x k )).
Dans le cas particulier où p = 1 et λ = 1, (cas des fonctions extensives en thermodynamique), nous avons la relation fondamentale :
f (x k ) =
i = n
∑
i = 1
∂ f
∂ x i
.x i
.
1.2 Variables de GIBBS
Pour décrire un système thermodynamique à plusieurs constituants, il existe un ensemble de variables particulièrement adaptées à une étude élégante du système. Une
grandeur extensive quelconque Y peut être décrite comme dépendant des variables
température T , pression p et quantité de matière n i avec l’indice i variant de 1 à
N (pour chaque constituant du mélange). Ces variables sont appelées variables de
GIBBS. Elles permettent de localiser l’information d’extensivité dans les seules variables n i , les deux autres variables étant intensives.
! Les systèmes pour lesquels, durant la durée d’étude, les quantités de matière ne
varient pas, sont dits chimiquement non réactifs. En revanche, pour un système fermé, si
un sous-ensemble des n i varie au cours du temps, nous dirons qu’il y a réaction chimique.
CHAP. 4 – POTENTIEL CHIMIQUE D’UN CONSTITUANT D’UN MÉLANGE
b) Théorème d’EULER
Étudions la variation infinitésimale d f de la fonction f lorsque le paramètre λ varie
de dλ :
d f (λ x i , x j ) =
i = n
∑
i = 1
∂ f
∂ (λ x i )
.
∂ (λ x i )
∂ λ
.dλ =
i = n
∑
i = 1
∂ f
∂ (λ x i )
.x i
.dλ .
D’autre part, en utilisant le fait que la fonction f est homogène de degré p des variables x i (i de 1 à n), nous avons une autre expression de d f :
d f (λ x i , x j ) = d(λ
p
. f (x k )) = pλ
(p − 1)
( f (x k )).dλ .
En identifiant les deux expressions de d f (λ x i , x j ) et en simplifiant par l’élément différentiel dλ , nous obtenons le résultat essentiel qui constitue le théorème d’EULER :
i = n
∑
i = 1
∂ f
∂ (λ x i )
.x i
= pλ
(p − 1)
( f (x k )).
Dans le cas particulier où p = 1 et λ = 1, (cas des fonctions extensives en thermodynamique), nous avons la relation fondamentale :
f (x k ) =
i = n
∑
i = 1
∂ f
∂ x i
.x i
.
1.2 Variables de GIBBS
Pour décrire un système thermodynamique à plusieurs constituants, il existe un ensemble de variables particulièrement adaptées à une étude élégante du système. Une
grandeur extensive quelconque Y peut être décrite comme dépendant des variables
température T , pression p et quantité de matière n i avec l’indice i variant de 1 à
N (pour chaque constituant du mélange). Ces variables sont appelées variables de
GIBBS. Elles permettent de localiser l’information d’extensivité dans les seules variables n i , les deux autres variables étant intensives.
! Les systèmes pour lesquels, durant la durée d’étude, les quantités de matière ne
varient pas, sont dits chimiquement non réactifs. En revanche, pour un système fermé, si
un sous-ensemble des n i varie au cours du temps, nous dirons qu’il y a réaction chimique.